Problème IX. Étant donnée une équation algébrique
9 ( x ) = xm 4- 4 Pt"*-1 4‘>'4P«œ0
dont les racines forment une progression par différence , résoudre cette équation.
En appliquant à cette équation une méthode analogue à celle que nous venons d’exposer, on parviendrait à la résoudre; mais nous préférerons le procédé suivant qui est aussi simple, et qui a d’ailleurs l’avantage d’offrir une application intéressante de la
méthode des coefficients indéterminés dont on fait un si fréquent usage dans l’analyse transcendante (388).
Si n est la première racine de notre équation et que r désigne la raison , on aura immédiatement (363)
pt {2a-f (m — 1)H>» '
D’un autre côté, il est évident que, si du carré du coefficient du deuxième terme de l’équation proposée on retranche le double de celui du troisième, le reste P,’— 2Pj sera égal à la somme des carrés des racines. Cherchons donc comment cette somme est composée en a et en r, car nous obtiendrons de cette manière une seconde équation entre ces deux inconnues.
J’observe d’abord que la formule [5] nous montre que la somme des premières puissances des racines de la proposée est une fonction du second degré du nombre m de ces racines, de la forme Am* -f- Bw ; il est donc naturel de penser que la somme St de leurs secondes puissances est de la forme km' -f- Bm* -j- Cm , de sorte que
S, = Am’ -f- Bm1 Cm ,
A, B, C étant des coefficients indéterminés dont il s’agit de trouver les valeurs. Or, si l’on ajoute un terme de plus fl-|-mr à la progression, il faudra que la somme des carrés des termes de cette nouvelle progression, se déduise de la précédente en y changeant m en (m-j- 1); donc on aura
S, -J- (a-j- mr)* — A (m -f- 1)* -f* B (m -J- J)* -J- C(m -J- 1).
Je retranche de cette équation la précédente, et je trouve, toutes réductions faites ,
a* -|- 2arm -j- r*m* = A(3m*-f-3m -f- l)-f-B(2m -f- l)-f-C,
équation qui doit être vraie , quelle que soit la valeur que l’on assigne à m : donc les coefficients des mêmes puissances de m dans les deux membres doivent être égaux, donc
d’où
a ^ d 2a r — r* „ 6a*— ôar-l-r»
et par conséquent
o 2r*»t,-f-(6ar — 3r*)»»,-|-{6a’ — 6ar-\-r*)m
Or, si dans cette formule on suppose m— 2, elle donne ^*~= i~ 2«/"— |— 2«*=«* — (-(a— j— /-)* : donc elle est vraie pour m — 2; mais il résulte de la méthode même qui nous y a conduits que si elle est vraie pour une certaine valeur de m , elle l’est pour la valeur suivante de cette quantité, donc cette formule est générale*.
La seconde équation du problème sera ainsi
pi 2p C2»»'— 3w’-f *M)r*-K6aM*— 6am)r+6a'm ,
1 * 6 7 ’ ’ • ou bien
;2P, ni
a'-Hm~l)ar+ **-*"+*
Retranchons de cette équation le carré de l’équation |5J miso sous la forme
, m — 1 Pi
“+-rr=-s-
* Cette méthode est générale, et pourra être employée avec succès pour calculer la somme de telles puiamnces semblables que l’on voudra des termes d’une progression par différence. Si l’on cherche, par exemple, la somme S, des cubes des m premiers termes de la progression •fa.(a+r,.(o+îr)..., on trouvera
ç tr^-HSoV— 6ar»+r»)m»+ (4o»— 6oV-f2or»)m
En faisant o=r — I dans cette formule et dans la précédente, H viendra ^ m'in-f Qlîm-fl) g m’tm+l)1
Au moyen de ces formules, on calculera la somme des carrés et la somme des cubes des m premiers nombres entiers. (Voir précédemment au n° 367 et plus loin aux applications du calcul inverse des diff érences.)
il viendra
»*— 1 , IV'm— 1)—
2*. 3 r tn*
d’où
, 2 . /„ P,*(m— 1)— 2mP, r = ± — 1/ 3. — i — r
et par conséquent
P, »»-l, /. IV m— 1)— 2*et\
y3’ — «r=rï *
655. Dans les applications, si l’on n’a pas ces deux formules présentes à l’esprit, on formera directement la somme des carrés des racines de la proposée. Prenons pour exemple 1 équation 5aa loa;» — 50x* + 9x + 45 = 0.
On aura d'abord, en faisant la somme des racines a, a^r, a + 2r, a+3r, a-f 4r,
* 5a-j-10r=— 5, ou a-f 2r= — 1.
En faisant ensuite la somme de leurs carrés
• ' a4-f2ar-fr*,
o4 -J- 4or -f 4r* ,
.*■ • a* + 6ar-i-9r',
a*+8ar+16r*,
on trouvera pour deuxième équation
5«* -f 20or -|- 30r* = 25 -f 20 = 45, ou . a*-f 4ar-f 6r4 = 9.
Je retranche de cette équation le carré de la première « + 2r=-l , ce qui donne
2r*=8, d’où r=±2 et a = — 5 ou o = -f3.
Ainsi les racines sont —5, — 3, — 1, +1» + 3-
CIUPITRE XX.
DES FONCTIONS SYMETRIQUES.
056. On appelle fonction symétrique de plusieurs quantités ' une fonction de ces quantités qui ne change pas lorsqu'on y permute deux quelconques d’entre elles. Ainsi les coefficients d’une équation sont des fonctions symétriques de ses racines. .
637. Pour former une fonction symétrique quelconque de plusieurs quantités a, b, c, d,... on fait la somme de tous les arrangements 1 à 1, ou 2 à 2, ou Ç à 3, ou 4 à 4,... de ces quantités, puis on donne le même exposant à toutes les lettres qui y occupent le même rang. Pour représenter une pareille fonction, on fait précéder, un de ses termes de la lettre T. Ainsi T(a*) ou mieux S„ T(a*ô?), Tfa'èV1),... représentent des fonctions symétriques dont les termes sont de la forme a*, ou «*£>*, ou ambpc\ ou etc., et on prononce somme a‘, ou somme a'W, ou somme a‘b*ci. Si donc on considère les quatre lettres a, b, c, d, on aura
T(a*6f)=a*6t-j-6*a>-f-a*cp-f c‘a,-\-a’dt-i-dma,-j-bl‘cf-^c‘bf-j-b’d^
■ ■ -f-dW-f-c’dt-j-d'ct.
638. Théorème. Toute fonction symétrique et rationnelle des racines d'une équation
<t(x) = xm-\- Pi-r”*-' -f P^c"-* + -f P* = 0
est égale à une fonction rationnelle des coefficients de cette équation. • , . . *
Pour démontrer ce théorème , on prouvera d’abord qu’il est vrai. pour toute somme de puissances semblables des racines de l’équation , et on fera voir ensuite qu'il a encore lieu , si chaque terme de la fonction symétrique, dont il s’agit, se compose de plusieurs de ces racines.
1” Partie. Nous avons vu (601) que la dérivée du premier
512 DES rOMCTIONS SY MÉTRlQl ES. .
membre d’une équation était égale à la somme des quotients qu’on obtient, en divisant ce premier membre par chacun de ses facteurs du premier degré , c’est-à-dire qu’on a
•a ' x — b r'"'x — k* en désignant par a, b, ...h les tn racines de la proposée. En effectuant les divisions indiquées dans le deuxième, membre , on obtiendra une expression de ç'(ar) en fonction des racines a, b,...k , et comme on en a une deuxième en fonction des coefficients de la proposée (481), on conçoit qu’en identifiant ces deux expressions de f\x), on pourra arriver à des relations entre les sommes de puissances semblables des racines de ç(x)=0 et les coefficients de cette équation. Or
4Pi«
4Pfa’"-4
En remplaçant dans cette égalité, a, successivement psr b, o,.., k, et en ajoutant tous les résultats, on trouvera
<f\x)— »ia;“,4 S,
4P.s,| 4PÂ 4® P»
4PiS— .
4PtS», 4PjSm-»
c 4»nP«-i
mais, d’un autre côté ,
*'(*) = mx—1 4 (m — ljP.x"-’ 4(m— 2P^r’H-’ 4 • ••+ P—* » donc, en identifiant ces deux expressions de transposant et réduisant, on trouvera
Si4Pi = 0, N
S,4P.S,4PÂ + 3P,= o, [ij
S»i-i 4 P,sm, 4 P »S„, 4 + (m — l)P„i=-0/
DES FONCTIONS STMKTRIOUES. Ô13
La première de ces équations détermine Si ; en substituant la valeur de cette quantité dans la deuxième , on aura Si, et ainsi de suite, de sorte que notre théorème se trouve établi pour * toute somme des puissances semblables des racines de çfa-) = 0, dont l’exposant est un nombre entier et positif moindre que m. Pour l’étendre aux autres cas, nous multiplierons les deux membres de l'équation proposée par xn, ce qui donnera
t"** -f P,.z"-— ‘ -f P,z— •—* Pm x' = 0.
Comme cette équation admet encore n, b, c,... k pour racines, on aura les identités
um+n j Pia«+«-t j P,a"+— » -f, . . . -f Pmo' = 0,
b"*' + Plè"+,l -f P, 6*^’ -f ... -f Pm6“ = 0,
kr~ -j- P,^**-1 + P.A— -f . . , -f P.A* = o,
et, en les additionnant, on trouvera
-}- PjSw+n-i -)- P, S m-é-n— I + ... + P«S. = 0 [2]..
Si on fait successivement , dans cette formule , n = 0, n = I , • n = 2, etc., il viendra
S» -|- PiS„i PjS„. i -J- »nP„ = 0,
Sm+i -|- PiS»+i -f- p»s„ 4” 4” = o,
etc., etc.
et la loi qui régit ces formules est celle même qui a lieu dans les équations [I].
Si dans cette même formule [2], on fait successivement n — — 1, » = — 2, » = — 3,..., il viendra
S»— 1 4* P iS«i 4* P tSM, 4~ •• • 4* Pm-iS, 4~ P-S-, — o,
Sm i 4- P,S 4“ P*S«-» 4--- + P "t-iS-i 4" P«S i = o,
Sm — , 4* P iSm — v 4* P.S.-. 4~ ••• “I- P-.S-, 4~ P«S,=o,
etc., etc. - v
On tirera de la première de ces nouvelles équations la valeur de S-t , on la substituera dans la deuxième, et on en déduira la <V • .33
DBS FONCTIONS SYMBIKIQUK6.
valeur de S s, et ainsi de suite, de sorte que notre théorème s’étend actuellement au cas où les exposants sont négatifs.
. G39. Toutefois , si l’on a besoin de calculer une somme de puissances semblables et négatives des racines de la proposée, on pourra le foire, de la manière suivante, plus facilement que par les dernières formules que nous venons d’obtenir. Je pose
x—ÿt et, après avoir chassé les dénominateurs, renversé l’ordre des termes et divisé par Pm , j’obtiens la transformée
r+t!r,+y!r,+.-.+S+pi=o.
Cette équation ayant ses racines réciproques de celles de la proposée , il est clair que la somme des nm" puissances de ses racines sera la somme des — »"•* puissances de celles de la proposée, de sorte que si l’on applique les formules [1] à notre" transformée, et que l’on chasse le dénominateur Pm , on trouvera
P„S t + PM 1 = 0,
PinS-I-f" Pm— lS-1 -f- 2P„— f = 0, .
P„S» + Pm-.S» + PB-,S i + 31* — , = 0, etc., etc. '
640. ExKMrLB. Calculer la somme des 4"“ et la somme des — 4"“ puissances des racines de l'équation
On trouvera
St — 3Sa — 4Sj -}- 12S| = 0 ;
d’où
d’où
j s,=4» , Ls i=s%.
DBS FONCTIONS SYMÉTRIQUES. 51$
641. 2* Partie. Considérons maintenant le cas où chaque terme de la fonction doit être composé de plusieurs racines, et cherchons en conséquence à évaluer T T(«*6fcT),... en fonction rationnelle des sommes de puissances semblables des racines de la proposée, car alors elles pourront l'être en fonction rationnelle des coefficients de celte équation, à l’aide des formules [1]. On a
S. = a* -j- If -f- c* -f-. • . ,
Sf = a>-f W + e»+...
Je multiplie ces deux égalités membre à membre, et j’observe •. que le produit des deuxièmes membres sera nécessairement une fonction symétrique des racines a, b, c,... k \ en conséquence, dès qu’on aura reconnu que ce produit renferme un certain terme, on en conclura immédiatement qu'il contient la fonction symétrique dont ce terme fait partie. Or, en multipliant la valeur dé S. par celle de S?, il pourra se faire que la lettre du terme multiplicateur soit la même que celle du terme multipli- . cande, ou qu’elle soit différente : le premier cas aura lieu quand on multipliera, par exemple, a* par a*, ce qui donne a***, et le second, lorsqu’on fera le produit de a* par b*, ce qui donne u'bf; donc
équation d’où l’on tire
' T(«“6P)=S.Sf— S~» 14].
Si l’on suppose « = p, le deuxième membre de cette formule se réduit à SJ- — S„; mais le premier membre, au lieu de devenir T(oa6“), comme on pourrait le croire, se réduit à 2T(a*è‘). - En effet la fonction T(a*6f), ne devant pas changer quand on y permute deux quelconques des lettres qui y entrent, renferme le9 termes a'W et a‘e? et c’af,... : or ces termes deviennent égaux deux à deux lorsqu’on fait p = a; donc leur somme, c’est-à-dire T(a*ùf). devient 2T(o*ù*) ; donc
. T(«‘6‘) = è|S.*-Si.j [5],
.il 6
DBS PONCTIONS SVMKTHUJIIPS.
Multiplions maintenant membre à membre les égalités
T (a*éf)= a*6? + a*c? -f-, . . • .
Sr=Bï-f
Il pourra se présenter trois cas dans cette multiplication : ou la lettre du terme multiplicateur sera la môme que la première du terme multiplicande, ou elle sera la même que la seconde, ou elle sera différente de toutes deux. Le premier caS se présentera en multipliant, par exemple, a'h* par a\ ce qui donnera a*+ èp ; le deuxième, en faisant le produit de a*6p par b\ ce qui donnera et on se trouvera dans le troisième, en multipliant a“6r par cT, ce qui fait o*é?cT ; donc on aura
Tia‘6f)ST=?T(a«^6»)+l\a«6H-r)^T(a*êM),‘- ,
équation d’où l’on tire, en remplaçant les fonctions T(o*ù,)t T(a'ù^) par leurs valeurs calculées au moyen de là formule [4] , • •
T(a«ô»cT)=S.S>ST-S„pS,-S^rSf-S.SM.1-h2S.;^T [6].
Si l’on suppose p — a , le premier membre se réduira à 2T(a*ùV), parce que la fonction T(a*ôpeT) ne changeant pas lorsque l’on y permute deux quelconques des lettres qui y entrent, ses termes deviendront égaux deux à deux par l’hypothèse de p = « ; donc
T(a*m =*iS.*S7-S*ST- aS^. + 2Ste+r| [7].
Si Y=p=«, la fonction T(a*6pcTj se réduira à six fois T'a*é*c*), parce que cette fonction ne changeant pas lorsqu’on y permute trois quelconques des lettres qui y entrent, et trois lettres fournissant six permutations, tous ses termes deviendront égaux 6 à 6 par l’hypothèse de y = p = « ; donc
T(a«6V)= à jS„!— -3S.S* 4-2S*i [8].
En multipliant de même membre à membre les deux égalités T(b*6?ct) = a*6pc7-}-. . . et ou
parviendrait de môme à exprimer d’abord en font-
