La théorie des fonctions symétriques fournit un nouveau

moyen de trouver la véritable équation finale résultant de l’élimination d’une inconnue entre deux équations de degré quelconque à deux inconnues. . - ’

322 ’ DM FONCTIONS STMÉTMQCiS.

Soient en effet,

xm -f ... -f Pm = 0= k ,

xn -f ...-(-Q.=0=B , ......

deux équations à deux inconnues, l'une du degré m et l’autre du degré n : ainsi, chaque coefficient est une fonction de y doqt le degré est au plus égal à son indice. Supposons que l'on ail résolu la première équation par rapport à x, et désignons par O), a,, a„ ... a„ ses m racines. Cette équation reviendra à

. „'A = (x — a,)(x — o,)...(x — am) = 0;

de sorte que l’on peut substituer au système des équations, proposées les m systèmes

B = oj’ B = oj’’" B=3o]’

Or, si l’on tire de la première des équations de cha*un de ce* systèmes la valeur de x et qu'on la substitue dans la deuxième, on obtiendra l’équation finale en y de ce système, et par conséquent, en multipliant ces équations finales membre à membre, on formera celle du système proposé. Çette équation est donc

(«t'-f + ••• 4-Q«Xa>“ + Qi®»"-1 + •+• Q»).«. ) rt91

... [aS+ÇhaS-'+.^+Q^O ) llZi’

Or, quoique «r,, a,, ... am soient des fonctions inconnues de y, il est cependant possible de former cette équation, car son premier membre est une fonction symétrique et rationnelle des racines a,, n„ ... am , et par conséquent on pourra l’exprimer en fonction rationnelle des coefficients de A =0.