Exemple. Éliminer x entre les équations

x* — 7x-j-6=0 et x* — yx-\ -(y* — 7) = 0.

J'appelle a et b les racines de la seconde, et j’aurai en conséquence pour équation finale

DBS FONCTIONS SYMÉTRIQÜI8. 533

ou , en effectuant la multiplication indiquée ,

— 7 (a&‘-f bcf) -j- 6 (a‘ -f ô1) -f é9aô — 42(a -f b) + 36 = 0.

On reconnaît que le premier membre de cette équation n’est composé que de fonctions symétriques des racines de la deuxième. On trouvera facilement que

ab—y1— 7, a-j-6=y, ab‘-\-ba,*= — y*-(- 21y* — 98,

0*4-0’ = — 2ys-(-2bÿ,

donc l’équation demandée est

* L’élimination que nous venons de faire est précisément le calcul que l’on doit exécuter pour obtenir, par la méthode du n° o99, l’équation aux sommes des racines de r*— 7x4~6=0, et vérifie ce que nous avons alors avancé, en disant que le premier membre de cette équation devait être un carré parfait.

047. Les calculs qu’exige cette méthode d’élimination sont tellement longs que l’on n’en fait guère usage dans la pratique, mais aussi elle a l’avantage de conduire très-simplement à une limite du degré de l’équation finale.

Considérons, en effet, le terme général de l’équation [12] : ce terme peut être représenté par

Q„a;-* = q.qp. . . .<c*.

Mais comme l’équation [12] est symétrique, elle doit renfermer tous les termes que l’on déduit de celui-ci , par l’échange des quantités at, a ,, ... am les unes dans les autres, c’est-à-dire

Q.Q>-.QJ(ar*a"-?...ari‘) [13]:

évaluons donc la limite du degré de cette fonction. D’abord le produit Q.Qji.-.Q,, est au plus du degré a-|P + --- + li; d’un autre côté, en se reportant aux formules qui donnent les valeurs de T (a‘ù?), T (a*èM)..., on voit que la somme des indices de S , dans chaque terme, est égale à la somme des exposants

DES FONCTIONS SY If ÉTHIQUES.

qu'ont les lettres a , b, <•,... dans chaque terme de ces fonctions, et comme il résulte des formules [1] que l'indice de S est précisément égal au plus fort indice des coefficients de la proposée, qui entrent dans son expression, on voit que T (a* est au plus du degré

(» — a) + (» — P)+ -• . -+-(*» — !*) — WS — (■ + ?+••'•+!*);

donc la fonction [13] et par conséquent l’équation finale est au plus du degré mn. De là ce beau théorème :

L’équation finale qu’on obtient en éliminant une inconnue entre deur équations de degré quelconque à deux inconnue s n'est pas d’un degré plus élevé que le produit de leurs degrés.

Elle sera précisément de ce degré si les deux équations sont les plus générales de leur degré ; mais, si l’on considère des équations particulières, il pourra s’abaisser. .. '