V. au

Au, = «,— V,

Si l’on forme de la même manière les différences des quantités

AU,, àUt, Av, ,...A on obtiendra la suite

Au,— Av„, Au,— Al/,, ... Av„, — Au„,,

cVst-à-dire les différences secondes des quantités proposé^. On les désigne par A* ; ainsi a1m,= au, — Au,, etc. En continuant de la même manière , on formera les différences troisièmes des quantités v„, u,, etc. , rVst-à-dire A'u^AH/^-A'u, , etc. ;

et ainsi de suite.

On pourra donc former le tableau suivant :

u,— u„ = Au,

Au, — Au„ = A’»„

A*tii — A5u0 = A*tl*

u, — u, = Au,

Au, — Au, =rA'u,

A:u} — à3U, = A^tii

Us — u, = Au,

Au. — Au, = A’u,

U, — U, —Au 5

u.*,— u.-a=Au»-,

A u»-,— Au.^,=A’u.-,

Uu-l

M«-, — U»-f = AU»-, V, — u = Au»-i

Au»-, — Au». = A’u»-,

Deux termes ne donnent lieu qu’à une différence première , et il n’y a pas lieu de considérer leur différence seconde ; trois termes donnent lieu à deux différences premières et à une différence seconde; en général, n termes donnent lieu à » — 1 différences premières, à » — 2 différences secondes... à une différence (» — l)n"‘.

640. On peut obtenir facilement l 'expression d’une différence d'un ordre quelconque en fonction de toutes les quantités de la suite primitive dont elle dépend. On a d’abord

A M0 = tt,— Mo, Alt, — Mi — U, ;

donc

A’u0 =■(«•— «i) — («1— «o)=Wt— 2u,-f u0. -

On a de même

A*ui = u,— 2w,-f .

donc * .

A\ = (u,— 2u, -f- u,) — (Ut — 2 u, -f v0) = u, — 3u, -f 3u, —

Les coefficients numériques des expressions de A*u0 et a*m0 sont les mêmes que ceux du carré et du cube d’un binôme dont le second terme est négatif; il y a lieu de penser, en se laissant guider par l’induction, que cette loi se continue et que l’on a en général

A"«0=u„— nu„,-

Pour démontrer cette formule , nous allons faire voir que si

DIB DtKPÉRKNCÜS FIMES. . ' 527

elle est vraie pour l'expression de A*-'u0 elle le sera pour l’expression de A"u,. Supposons donc que l’on ait

a-«Uo = - (n- l)an, -f 2) v„, - ...

on aura pareillement :

A*u0 = A*-1*, — An-'«0