OC

on en conclura

ou en réduisant :

A"a„ = u„ — nun-i H yY1 -* i — T23 ««-*+•••

c’est-à-dire la formule [1]. Or, la loi a été reconnue vraie pour l’expression de a*m0, donc elle le sera pour A‘u0 ; l’étant pour A‘u», elle le sera aussi pour À*«,, et ainsi de suite; donc elle est générale. On peut écrire la formule £1] de cette manière symbolique ; ■

A"itt=ffi — 1)* [2],

sous la condition qu’en développant la puissance indiquée on devra changer les exposants de a en indices.

6o0. Réciproquement, on peut obtenir V expression de l’ une quelconque des quantités de la suite primitive., en fonction du premier terme de cette suite et de ses différences successives. On a d’abord :

«i = «j + A«o » et Au, = Au, -f A’u0 donc, - * • .' ‘ - ’

u»= Ui -f- AUi = u, -j- 2Au, -}- A*u0.

On a de môme:

Attj — Au, -f- A*U, = A«0 -)- 2 A*u( -j-*AsW0

ÜLS UirtKHKNCKS KlRiUS.

et pur suite:

Aw, = M0-f 3am„-}- 3AX+A'«/0-

On remarque que les coefficients numériques des expressions de «, et de «3 sont encore ceux du carré et du cube d’un binôme, dont le second terme est positif ; et l’on démontre facilement que cette loi est générale. En effet, admettons qu’elle soit vraie pour , on aura :

*»-i — *, +(» — i )Au,+

Au^,='Att,+(n-t)AH..+ — -'j;;"- - ftd — A‘«, + ...

et par suite

k . = Am,

Aa,+

AX ■ (a-l)(a-2)(w-8 1.2.3

ou , en réduisant :

, «{«— 1).. . n.(ii — 1)(» — î) .. • ,

U.= U, + »A«.+ t y A’U,H pyj A5u,+ ...

c’est-à-dire que la loi sera vraie pour Or, nous l’avons vérifiée pour donc elle est vraie pour «*; l'étant pour uit elle

le sera pour et ainsi de suite; donc elle est générale. On la représente par la formule symbolique :

en observant qu’après le développement de la puissance les exposants doivent être seulement considérés comme indiquant l’ordre des différences.