IV. CALCUL INVERSE DES DIFFÉRENCES

880. La question que l’on se propose a pour objet de trouver une fonction F(x) telle que sa différence soit égale à une fonction donnée f(x). •

Oadésigne cette fonction par 2/"(x). Ainsi, l’égalité

: . • lf{x) — F(x) ■

signifie que

AFC*)=/r*},

ou que

681. Avant trouvé une fonction particulière F(x) telle que AF(x)= f{< r), on peut se demander s’il n’existe pas une solution plus générale. Supposons qu’il en existe effectivement une, et soit <f(x) ce qu’il faut ajouter à F(x) pour obtenir cette solution générale On devra donc avoir

A[F(x) + <p(x)] ou AF (x) -f A <p(x) t= f{x) ; mais, par hypothèse, AF(x) — /][x); donc

Aç(aO = 0, ou, <p(x-f-A)— <p(x)=±0,

c’est-à-dire que la fonction tpOç) sera une fonction périodique, ayant A pour période ; elle sèra par exemple de la forme

Ksin^)?'KC08?r)’

astreinte seulement à la condition de reprendre pour x = x*-\ -nh la môme valeur que pour x — x0, et restant d’ailleurs arbitraire dans l’étendue de chaque intervalle égal à A. Il est évident que si x ne devait recevoir d’autres valeurs que les multiples successifs de A, la fonction «(æ) serait alors une simple constante.

662. Un polynôme algébrique étant donné, on peut toujours trouver une fonction dont ce polynôme soit la différence. - -

Soit en effet

A.r" -f Ba— * + Cx— 1 • + . . . . -f Tx + U

le polynôme donné. Nous avons vu (681) que la différence d’un polynôme algébrique était un polynôme algébrique de degré moindre d’une unité; nous pouvons donc inversement représenter la fonction cherchée par le polynôme du degré (mi 4*1)

\'xm* -f BV -fC 'V* + . . . . -f Tx + U', ’•

A', B', C', . . . . T', U1 étant des coefficients indéterminés. Pour trouver leurs valeurs , on formera la différence du polynôme

AV44 -f BV -f- , et on exprimera qu’elle est égale au

polynôme donné, ce qui conduira à égaler à zéro les coefficients des mêmes puissances de x. On trouvera ainsi sans peine les équations :