Ainsi , pour calculer avec huit décimales les logarith

dis Dimmxcis rirais. 535

mes des nombres successifs à partir de 10000, on partira des valeurs suivantes :

y = logs = 4, h= 1,

Ay = 0, 000 013 427 27,

(On prend les valeurs de Ay et A’y avec quelques décimales de plus que l’on ne veut en conserver dans les valeurs de y, afin

d'éviter l’accumulation des erreurs.)

y=log.£

Ay

etc.

4,000 000 000 00 ‘ 4,000 043 421 27 4,000 086 858 88 4,000 130 294 83 4,000 173 735 12 4,000 217 179 75 etc.

On ne gardera que huit décimales dans toutes les valeurs de y. On aura d’ailleurs soin de vérifier les résultats obtenus au moyen de logarithmes calculés directement à certains intervalles. En adoptant les valeurs ci-dessus de Ay et Ay*, on verra facilement que l’erreur commise sur le logarithme de 10040, par exemple, surpasse à peine une unité du huitième ordre décimal \ On pourra donc prolonger le tableau

• On a en effet (formule [5]), pour n= 40:

log 10040=tog(y=10000)-HO.Ay+^ A’y + ^j38 A'y + ...

= log 10000 + 4OAy+7»O.a,t/+98S0 A’y+ ...

L’erreur commise sur Ay est <0,000 ooo 000 Otic 804 •, * . •

536 t DES DIFFÉRENCES FINIES,

ci-dessus jusqu’au logarithme de 10040, mais on n’ira pas plus loin; arrivé à ce nombre, on calculera directement son logarithme, ainsi que les différences première et seconde correspondantes, et on formera par leur moyen les logarithmes des nombres consécutifs 10041, 1004-2, etc., dans un nouvel intervalle, et ainsi de suite.

Ü67. Considérons actuellement la fonction »/ = sinx. On trouvera successivement :

A sinx = sin(x + A) — sinx = 2sin JA cos(x-fJA), A’sinx= A sin(x-f A) — A gin x = — (2 sin ^ A)* sin [x + A),

\* sin x = A’ sin (x + A) — A’ sin x = — (2 sin J A)* sin (x + 3 A).

A‘ sin x = As sin (x + A) — As sin x = (2 sin JA)* sin (x -f 2A),

etc. , .

Ces différences diminuent très-rapidement si l’arc A est très-petit. ,

Si l’on observe d’ailleurs que

A* sin x = [sin (x -|- 2A)— sin (x -f A)] — [sin (x + A) — sin x],

on aura, en égalant cette expression à celle trouvée ci-dessus pour A’ sin x, et transposant le second terme dans le second membre : *

sin (x -f 2A) — sin (x -f A) = sin (x -jr A) — sin x — (2 sin J A)’ sin (x + A) ;

et, en faisant x = (m — 1)A, il viendra :

sin (m -j- 1)A — sin mh — sin mh — sin (m — 1)A — (2 sin J A)’ sin mh.

par conséquent , l’erreur commise sur le logarithme de 10040 sera plus petite que

+ *80 X 0,000 000 OQU 002 011 j < 0,000 000 01 1*

- . + 9880 X 0,000 000 000 OOO 860 )

( Nous négligeons l’erreur résultant de' la suppression des termes en d'y, etc., laquelle est extrêmement petite par rapport à relies des termes précédents ). t t • m

DES DIFFÉRENCES FINIES. t 537

C'est ia formule de Thomas Simpson , pour le calcul des tables de sinus. . .

fl*>8. Si l’on connaissait les valeurs exactes des différences A* sin x pour les diverses valeurs de r et celle de A sin x pour

x = 0, on en déduirait les valeurs exactes des sinus de tous les arcs croissant à partir de zéro par intervalles égaux à h ; en effet, connaissant exactement la suite des termes 5*810 0,

A1 sin A, A’sin2A, etc., et AsinO, on calculerait d’abord les différences premières successives A sin 4 = AsinO-}- A* sin 0,

A sin 2A = A sin A -|- A* sin h, etc. ; puis, au moyen de celles-ci, la suite sin A = AsinO, sin 2A = sin A A sin A, etc.

Ainsi , les erreurs commises sur les valeurs calculées successivement de la suite des sinus, sin A, sin2A, sin3A, etc., seront seulement occasionnées par les erreurs dont seront affectées les différences secondes A’sinar, et la différence première A sin x pour x = 0.

Soit e l’erreur du premier terme A* sin 0 ou — (2 sin ^ A)’ sin A de la suite des différences secondes A* sin 0 , A’ sin A ,

A* sih 2A, etc.; et supposons d’abord que ce premier terme soit seul fautif. Cette erreur produira une erreur égale sur chacun des termes de la suite des différences premières AsinO,

A sin A, Asin2A, etc., à partir du second A sin A, puisque l’on a

A sin A = AsinO + A*sinO erreur = e,

A sin 2A = A sin A -f- A' sin A erreur = e ,

etc. ; .

et ces erreurs des différences premières produiront à leur tour des erreurs croissantes e, 2e, 3e, etc., sur les termes de la suite des sinus à partir du troisième sin 2A, puisque l’on a

sin 2A = sin A -f A sin A erreur = e,

sin 3A = sin 2A -j- A sin 2 A erreur = 2e,

etc.

Si nous supposons maintenant que le second terme A* sin A de la suite des différences secondes soit aussi fautif de la

DBS DIFFÉRENCES FINIB8.

môme quantité e, il est clair qu’il en résultera une nouvelle erreur égale encore à e sur les différences premières à partir de Asin2A, de sorte que les termes A sin 2 A, A sin 3 A, Asin4A, etc., seront tous affectés d’une erreur totale égale à 2«; et, à leur tour, les termes de la suite des sinus, à partir du quatrième sin 3 A, se trouveront affectés respectivement des nouvelles erreurs e, 2e, 3e, etc. ; de sorte que

sin 3 A sera fautif de 2e e, sin Ah sera fautif de 3e-f-2e, etc.

On en conclut facilement qu’en supposant toutes les différences secondes A’ sin 0, A* sin A, A* sin 2 A, etc., fautives de la même quantité e, l’erreur totale produite sur sin mh par les erreurs des différences secondes sera la somme des erreurs partielles

(»i — l)e, erreur due au terme A* sin 0,

(m — 2 je, erreur due au terme A* sin A,

2e, erreur due au terme A* sin (m — 8)A, e, erreur due au terme A’ sin ( m — 2 )h,

c’est-à-dire : \ * . -

e[l + 2 + ... + (m- 2) + (m - 1)] = T&pl) e.

Quant à l’erreur résultant de l’erreur commise sur le premier terme A sin 0 de la suite des différences, premières , il est évident qu’elle ne fera que s’ajouter à elle-même en passant d’un terme quelconque de la suite des sinus au suivant, de sorte qu’elle sera multipliée par m lorsqu’on arriveraau terme sin mh. .

659. Ceci posé, supposons que l’on veuille calculer la suite des sinus de 10* en 10" à partir de 0 jusqu’à 30®= 108000". L’expression générale d’un terme de la suite des différences secondes est — (2sin£ A)*- sin mh , dans laquelle on fera A=10", et on devra donner à m toutes les valeurs 1,2,3,...! 0800.

Or, on peut obtenir les différences secondes avec seize décimales exactes, on aura donc e< ’ donc, en supposant que'

toutes les erreurs atteignent leur limite supérieure et qu’elles soient toutes dans le même sens, l’erreur qu’elles occasionneront sur le dernier terme sin 30° de la suite des sinus, sera inférieure à >080°2 ï07" • ï^r, = 0, 000 000 005 831 46.

En second lieu, l’erreur commise sur le premier terme A sin 0 = sin 10", sera assez faible pour qu’étant multipliée par 10800, elle produise sur Je dernier sinus une erreur moindre que 0, 000000001 08. L’erreur totale due à ces deux causes sera donc moindre qu’une unité du huitième ordre décimal ; de sorte que l’on aura au moins huit décimales exactes •dans toute la suite des résultats.