La notation des exposants négatifs permet de donner la

dis opéiutmk»'bk l’aloêbre. 47

forme entière à une expression fractionnaire ; car si l’on a , par

3 Vf

exemple , la fraction irréductible - =

bacP

$.b-'arlb'd-'f.

(00;, elle revient à

90. Cette notation fournit ainsi le moyen d’ordonner un polynôme qui renferme des termes où la lettre, qu'on veut prendre pour lettre principale, entre en dénominateur. Soit, par exemple,

le polynôme^- — 3a' — ^ -f-2a‘x : on observera d’abord que

3o* . Aar * -

— =3 <rx~l et que = 4aTjr ’ ; puis, en se rappelant que de

deux quantités négatives la plus grande est celle qui a la plus petite valeur absolue (26), on écrira ce polynôme de la manière suivante :

2a‘«c- — t>a5-j-3ar,x“‘ — 4a'x~i.

Si donc on veut multiplier ce polynôme par 6a*.r* — — — 9o\

on ordonnera pareillement ce polynôme suivant les puissances décroissantes de x, et, en appliquant la règle du n° 43, on exécutera le calcul qui suit :

2 a'x — 5«6-f-3ri5j;“1 — Kdxr' 6a’.r* — 9a‘— 2alx~'

1 2a V— SOa’x’-f- 1 8a*af— 24as • ✓

— I8^x+ 45a*— 27ft,0irr‘-l-36a"xr!

— i^+Wa^xr*— 6a"ar«+8a,,ar«

1 2 aV — SOau:’ -f-17a9 — 1 7a10x-,-)-3Oauar,-f-8a,,gr*.

91. 11 résulte de la règle du n° 00 que la démonstration du principe établi au n° 30 convient à deux polynômes qui renfermeraient des lettres affectées d’exposants négatifs, et que, par conséquent , la règle que nous avons donnée pour la division de deux polynômes entiers s’applique aussi au cas où ils contiendraient des lettres dont les exposants seraient négatifs.

Pour en donner un exemple, effectuons la division de — a1 par i?-\-ax. On trouvera

<r‘ — o*|«*-|-ar* .• .

— ax3 x — a-fû’ar-1 — a’ar'

-fa‘ •-

Ainsi on voit que si l’on s’était arrêté à un reste dans le premier terme duquel la lettre ordonnatrice aurait un exposant plus petit que celui qu’elle a dans le premier terme du diviseur, on ne se serait pas aperçu que la division précédente pouvait se terminer. Il ne faut s’arrêter à un pareil reste que si on veut se borner à calculer la partie entière du quotient. Mais si l'on désire savoir si la division se terminera, il faut continuer le calcul jusqu’à un reste tel , qu’en divisant son premier terme par le premier terme du diviseur, on serait conduit à écrire au quotient un terme dans lequel la lettre principale aurait un exposant plus petit ou plus grand algébriquement (26) que la différence de ceux dont elle est affectée dans le dernier terme du dividende et dans le dernier terme du diviseur, selon qu’on aura ordonné par rapport aux puissances décroissantes ou aux puissances croissantes de cette lettre. Si ce reste est nul, l’opération est terminée, sinon elle n'aura point de fin.

L’exemple précédent répond au cas d’une division numérique, dans laquelle le dividende renferme tous les facteurs premiers du diviseur autres que 2 et 5 ; car un nombre décimal peut être regardé comme un polynôme ordonné suivant les puissances décroissantes de 10. Ainsi