SI- DBS QUANTITÉS PREMIÈRES

92. Thkohème I. Toute quantité première P qui divise le produit AB de deux facteurs entiers A et B, divise l’un d’eux *.

Cette proposition ayant été démontrée , dans le cas où les trois quantités P, A et B ne contiennent aucune lettre, c’est-àdire dans le cas ôù elles sont numériques ( Arith ., 81), nous allons prouver que si notre théorème est vrai lorsque les quantités P, A et B ne renferment que n lettres au plus, il le sera encore quand elles en contiendront (n 1), et on devra par conséquent en conclure que puisqu’il est vrai, lorsque ces quantités renferment zéro lettres , il le sera encore dans le cas où elles en contiendront 0 + 1 , c'est-à-dire une; partant qu’il le sera encore si P, A et B se composent de 1 + 1 = 2 lettres au plus, et ainsi de suite; de sorte que sa généralité sera prouvée.

Nous distinguerons quatre cas, savçir :

P contient n lettres, B eu renferme n et A en a n+l,

P ■ n B n-(-letA .n+l,

P n+l B n et A n+l.

P n+l B n+l et A n+l.

l*r Cas. P et B contiennent n lettres et A en renferme n + l.

Soit x une lettre de A qui ne se trouve ni dans P ni dans B; ce polynôme sera de la forme

A = ax' + b± > + ext + . . . ,

a, b, c... étant des quantités entières composées des mêmes n lettres qui entrent dans P et dans B. En multipliant A par P, on trouvera

AB = Bo^* +B bx* + Bc;rr + . . .

* La démonstration de ce théorème est due à M. Lefebure de Faurcy.

Puisque P divise AB et qu’il est indépendant de x, il devra diviser tous les coefficients de cette lettre dans ce produit, c’està-dire Ba, B5, Be,... (64). Or, P et chacun des facteurs du produit B« ne sont composés que de n lettres : donc , d’après notre hypothèse, P doit diviser l’un de ces facteurs ; s’il divise B, le théorème est démontré ; s’il ne le divise pas, il divisera a. Par la même raison, il divisera b, cv..; donc il divisera A.

2* Cas. A et B renferment (n -}- 1) lettres et P n,’en contient que n.

J’ordonne A et B par rapport aux puissances de la lettre x qui n’entre pas dans P, et je désigne par A' la somme des termes de A. qui sont divisibles par P, et par’ A* la somme de tous les autres : on aura

Je décompose B de la même manière, ce qui donnera B = B’-|-B";

■et par suite

• AB = A'B' -}- A 'B' -)- A' B" -f- A"B".

Les trois premières parties de ce produit sont divisibles par P ; donc la quatrième A"B" l’est aussi, puisque, par hypothèse, P divise AB. Or, soient ax'e t bx? les termes de A" et de B" où x a le plus fort exposant : le terme abxr^ fera partie du produit A' B", et ne pourra se réduire avec aucun autre terme de ce produit ; donc P divisera le coefficient ab de ce terme (64), et par conséquent il devra diviser ou a ou b, puisque o, b, P ne sont composés que de n lettres au plus ; mais P ne peut diviser a, car alors il diviserait un des termes «x“ de A", ce qui est contraire à ce que nous avons supposé ; par une raison semblable, il ne saurait diviser b\ donc il ne peut diviser A"B". Donc il est impossible qu’il y ait à la fois dans A et dans B des termes qui ne soient pas divisibles par P; donc ce polynôme divise tous les termes de A, ou tous les termes de B.

3* Cas. P et A contiennent (n-j-1) lettres , mais'Jl n’y en a que n dans B.

Représentons par Q le quotient entier que donne la division de A fi par P, de sorte que