Le tableau de ces opérations se nomme formule

3. 11 suit de là que la formule à laquelle on parvient, en appliquant l’algèbre à la résolution d’un problème, doit renfermer implicitement la solution de toutes les questions qui ne diffèrent

• de celle qu’on s’est proposée que par les valeurs des données. Or, on ne peut atteindre ce but en considérant, comme dans l’Arithmétique, des nombres déterminés ; car, puisqu’on effectue à mesure toutes les opérations qui se présentent, le résultat final ne conserve aucune trace de ces opérations , et quand même on se contenterait de les indiquer, il pourrait être impossible de reconnaître les données, sur lesquelles elles doivent être effectuées, si quelques-unes avaient la même valeur. Pour éviter ces inconvénients, il faut donc représenter les données par des symboles sur lesquels on ne puisse effectuer aucuns calculs , et qui en outre soient susceptibles de repréc. * . -1

senter tous les nombres possibles. Les lettres de l’alphabet remplissent ces deux conditions.

4. Proposons-nous pour exemple le problème suivant : Étant données la somme et la différence de deux nombres, trouver chacun d’eux.

Si le plus petit des deux nombres demandés était connu, en lui ajoutant leur différence , on trouverait le plus grand : si donc je représente par s la somme des deux nombres cherchés, par d leur différence et par x le plus petit , le plus grand de ces nombres sera exprimé par x-\-d, et leur somme le sera par conséquent par x -f x d , ou , ce qui revient au même , par 2 x-\-d. Mais cette somme est déjà représentée par s; donc 2x -j-d=s.

Cette égalité signifie que s est la somme des deux quantités 2x et d; donc, si de s on retranche d, il restera 2x : ainsi 2x = s — d.

et par conséquent s — d étant le double de x , on aura

Telle est l’expression du plus petit des deux nombres demandés. Celle du plus grand sera donc

ou, en réduisant l’entier d et la fraction qui l’accompagne en une seule fraction ,

s — d + 2d , qUantjt,i qUi est évidemment égale à

Ces résultats traduits en langage ordinaire nous apprennent que quand on connaît la somme et la différence de deux nombres, il faut, pour avoir le plus petit, retrancher la différence de la somme et prendre la moitié du reste; et que pour obtenir le plus grand, il faut ajouter la différence avec la somme et prendre aussi la moitié du résultat.

introduction .

Si , par exemple < on veut partager 1 1 en deux parties dont la différence soit 5 , on verra que la plus petite de ces parties est égale à = f = 3, et que la plus grande vaut = 8 ;

et en effet ces deux nombres 3 et 8 diffèrent de 5 unités et forment une somme égale à 1 1 .

S. Prenons encore pour exemple la question suivante : On a rempli un bassin contenant a litres, en y faisant couler successivement deux robinets, dont l’un fournissait b litres et Vautre c litres d'eau par minute. Le second est resté ouvert pendant d minutes de plus que le premier : pendant combien de temps chaque robinet a-t-il coulé ?

Désignons par x le nombre de minutes pendant lequel le premier robinet a coulé ; le temps pendant lequel le second est resté ouvert sera représenté par d -{- x. Comme le premier fournit b litres par minute, en x minutes il en aura versé b.x. De même, puisque le second laisse écouler c litres par minute, en (d -(- x) minutes il aura amené 'c.fd+ar) litres d’eau, c’està-dire (c.d-\-c.x) litres; car il est évident que, pour multiplier un nombre c par la somme de deux autres d et x, il n’y a qu’à le multiplier par chacun d’eux , et à ajouter ensuite les deux produits. La quantité d’eau versée par les deux robinets a donc pour expression

mais elle a été représentée par a-, donc, b+x-\-c.d-\-c.x = a.

a étant ainsi la somme des trois quantités b.x, c.d, c.x, si on en retranche la seconde, il restera la somme des deux autres ; donc

ou , ce qui revient au même ,

car, par la même raison que ci-dessus , b . x + c . x est le produit de (6-fc) par x. L’égalité [1] exprimant que a — c.d est le pro-

duit de (6 + c) par x, on obtiendra la valeur du facteur x en divisant ce produit par le facteur {b + c) ; donc

6. On pourrait traduire cette formule en langage ordinaire, comme on a fait dans le problème précédent, et en déduire ainsi une règle pratique , pour résoudre toutes les questions dont les énoncés différeraient de celui du problème général que nous venons de traiter, seulement par les valeurs particulières des données; mais il vaut mieux , en général , conserver chaque formule sous sa forme algébrique, et y écrire, à la place des lettres qu’elle renferme , les nombres donnés dans chaque cas particulier : c’est ce qu’on appelle substituer les valeurs données ou réduire la formule en nombres.

Si, par exemple, le bassin contenait 272 litres, qu’il eût été rempli par deux robinets , dont l’un fournissait 8 litres et l’autre 6 litres d’eau par minute ; et que le second fût resté ouvert pendant 36 minutes de plus que le premier, on ferait a = 272, è = 8 , c = 6 , d = 36 , et , en substituant dans la formule [2] , on trouverait

Le premier robinet a donc coulé pendant 4 minutes, et par conséquent le second est resté ouvert pendant 36' +4' = 40 minutes. En effet, ils auront ainsi versé , .l’un 8‘.4 = 32 litres, l’autre 6*. 40 = 240 litres , et 321 -f 240‘ = 272 litres.

7. On appelle équation l'expression de l’égalité qui existe entre deux quantités, dont l'une au moins renferme une ou plusieurs inconnues. Ainsi 2x + d = s et b.x + c.d + c.x-a sont des équations. La partie qui est à gauche du signe = se nomme le premier membre de l’équation, et celle qui est à droite en est le second membre. 2x + d est le premier membre et s est le second membre de l’équation 2x-j-d — s.