Si les deux quantités, que le signe = sépare, ne renfer

ment aucune inconnue, ou si l'un des membres n’est que le résultat des opérations indiquées dans l'autre, on dit que la réunion de ces deux quantités forme une égalité. Ainsi , 2. 3 + 5=11 et c .((/ + x) = c . d -f- c .x sont des égalités. -

O. Si les deux membres d'une égalité sont exactement les mêmes , cette égalité prend le nom (/'identité ou (/ égalité identique. Ainsi 8 = 8,a;+2=a;+2 sont des identités.

10. Les termes d’une expression algébrique sont celles de ses parties qui sont précédées ou suivies de l’un des signes -fou — . Ainsi les termes de l’expression a + b — c sont a, + b et — c.

11. On dit qu’une quantité est monome , binôme , trinôme , et en général polynôme , lorsqu’elle contient deux, trois, et en général plusieurs termes. a+ b — c est un trinôme*.

liî. On appelle coefficient un nombre qui est placé comme facteur à la gauche d'une quantité algébrique. Ainsi, dans l’expression 1x, le chiffre 2 qui indique que la quantité x doit être répétée deux fois ou multipliée par 2, est le coefficient de a:. De même, dans l’expression fa, la fraction f est le coefficient de a ; elle indique que cette quantité a doit être multipliée par f , ou qu’on doit en prendre les trois cinquièmes.

13. On n'écrit pas le coefficient quand il est l’unité. Ainsi, dans le binôme 2x -f- d , on peut dire que d a l’unité pour coefficient, parce qu’en effet 1 ,d = d.

14. |0n a vu , dans l’Arithmétique , que I’exposant d'une quantité est un nombre que l'on écrit à la droite de cette quantité et un peu au-dessus , pour indiquer combien de fois elle doit être prise comme facteur **.

* fl est bon d’observer que l’on appelle aussi les monomes quantités incomplexes, et les polynômes quantités complexes.

** Il est très-important de ne pas confondre le coefficient avec l'exposant; car 1 expression 3a, dans laquelle 3 est le coeflicienl de a, est égale à ^+4 + 5 = 15, si l’on suppose a=&, tandis que celle expression a1, dans laquelle 3 est l’exposant de a, vaut, dans la même hypothèse, 5.5.5=125.

introduction.

18. On n’écrit pas l’exposant quand il est égal à l’unité. Ainsi a et a1 sont deux expressions équivalentes.

IG. Nous avons vu, dans l'Arithmétique, que l’on indiquait la multiplication de deux quantités, en les séparant par ce signe X ou par un point; mais, en algèbre , on écrit ordinairement les facteurs les uns à la suite des autres, sans interposition de signes. Ainsi , les expressions a' X è5, a*. 6* et a’è* signifient également que l’on doit multiplier le carré du nombre représenté par a par le cube de celui qui est désigné par b. Dans tous les cas, il faut avoir soin d’envelopper de parenthèses ou de couvrir d’un trait horizontal les facteurs qui sont polynômes; de sorte que pour indiquer la multiplication des quantités 2a* — 6* et c* — Ade, on devra écrire (2a5 — 65)(c’ — Ade) ou bien 2a5 — b\ c1 — Ade. Cette seconde manière d’indiquer la multiplication de deux polynômes est rarement employée.

17. O» appelle termes semblables ceux qui sont composés des mêmes lettres affectées des mêmes exposants , quels que soient d'ailleurs leurs coefficients et leurs signes. 3aèV, — 5aô*c*; — aè*c*, etc., sont des termes semblables; mais les termes

3aèV et -j- 3 «‘6V5 sont dissemblables , parce que la lettre a n’a pas le môme exposant dans l’un et dans l’autre.

lit. On dit qu’une quantité algébrique est entière lorsqu'elle ne renferme ni radical ni dénominateur. Telles sont les quantités 2 a'b , 3a* — bc , etc.

19. On appelle quantité première toute quantité entière qui n’est divisible par aucune autre quantité entière gu elle-même ou l'unité. Ainsi, a* — b est une quantité première, mais a‘ — è* n’en est pas une, parce que, comme nous le verrons bientôt (81), elle est le produit de a -f- b par a — b.

20. Une quantité dont la valeur dépend de celles (T autres quantités , est dite une fonction de ces quantités. Ainsi, en vertu de l’équation [1] , x est une fonction des quantités a, b, c, d.

g II. DES QUANTITÉS NÉGATIVES.

SU. Dès l’origine de l’Algèbre, les géomètres, en voulant appliquer leurs formules à des cas particuliers, ont été conduii&à soustraire une quantité d’une autre qui était plus petite quelle.. Ainsi, par exemple, si dans la formule x=a. — b, on suppose « =3 et b =5, on devra retrancher 5 de 3, ce qui ne se peut pas. Cependant, en considérant que, pour soustraire 5 unités, d’un nombre donné , il suffit d’en retrancher d’abord 3 unités, puis de retrancher 2 unités du reste , au lieu d'écrire 3 — 5 , on. aura l’expression équivalente 3 — 3 — 2, qui se réduit évidemment à — 2 , et ce signe — placé devant 2 montre que c’est ce dont il s’en faut que la soustraction puisse s’opérer tout entière. Mais s’il s’agit de la résolution d’un problème , que signifie un pareil résultat : la valeur de l’inconnue est — 2 francs, — 2.aunées, — 2 hommes, etc.? Pendant longtemps ces expressions, que l’on a appelées des quantités négatives, ont été regardées comme notant susceptibles d’aucune interprétation, et ont en conséquence été rejetées comme ne répondant pas aux ques- • tions qui y avaient conduit.

22. Or, on conçoit, avec un peu de réflexion, que l’on a sans cesse à considérer, dans les quantités de la même espèce , non-seulement leur valeur absolue, mais encore leur mode d'existence . Par exemple , si une personne possède 50000r et si une autre doit -60000r; si une montre avance chaque jour de 12 secondes et si une autre retarde au contraire de 12" ; si un événement est arrivé 200 ans après Jésus-Christ , et si un autre événement a eu lieu 20Q ans avant J. C-, etc.;, on conçoit très-bien que ces nombres 50000f, 12" et200‘ sont pris ici dans de6 sens directement contraires' .

’ Remarquons cependant qu'il n'en est pas ainsi pour toutes les grandeurs concrètes, mais que le calcul de ces grandeurs se ramenant Un^jours à celui de quantités abstraites, il est nécessaire de regarder aussi ces dernières comme étant susceptibles de croître dans deux seus contraires. C’est aius que, dans l'arithmétique, on divise .l’unité abstraite en parties égales, bien

8 IXTRODCCTION.

La science des quantités ne remplirait donc qu’une partie de son but, si elle se bornait à les considérer sous le rapport unique de leur valeur absolue. Il faut encore qu’elle fournisse des symboles pour indiquer que deux quantités ont des modes d'existence identiques ou directement contraires. Il suffit , pour cela , de cette simple convention , savoir : que toutes les quantités de la même espèce, qui ont le même mode d' existence, seront précédées du signe -f-, et seront en conséquence appelées positives ; et que toutes celles qui auront un mode d'existence directement contraire à celui-là seront affectées du signe — , et prendront ainsi le nom de quantités négatives. De telle sorte que si l’on convient de faire précéder du signe -f- l’expression de la fortune d’une personne qui a, je suppose, 60000 francs, on afl'ecr tera du signe — celle d’une autre personne qui doit 50000f, et on dira en conséquence que l’unepossède -(- 50000f et que l’autre possède — 50000f. De cette manière les formules acquerront une généralité qu’elles n’auraient pas sans cette convention.

25. Nous pouvons en donner immédiatement urr exemple * très-remarquable.

0 Si’ a m1 b m v

Soient A et B deux points fixes situés sur la droite indéfinie UV, M un point qui se meut sur cette droite. Si l’on désigne par a,xety les distances respectives AB, AM et BM,*iI est clair que quand le point M se trouvera à droite de B, on aura

mais que s’il vient occuper une position M’ située entre A et B , on aura

que certaines unités concrètes ne soient pas susceptibles de cette subdivision. Seulement , dans ce dernier cas , on doit rejeter les résultats fractionnaires, comme ne répondant pas à la nature de la question proposée. C'est ce qui arriverait si l'on demandait , par exemple , combien il faut d'hommes pour faire en 8 jours l’ouvrage que 15 d'entre eux ont fait en 17 jours.

et que s'il se trouve en M", à gauche de A , sa distance à ce point sera donnée par l’équation

Ainsi , il faut trois équations pour déterminer, dans tous les cas, la distance du point M au point A. Mais si l’on regarde comme positives les distances comptées dans le sens UV, et comme négatives celles qui seront mesurées dans le sens contraire VU, la première formule

déterminera la dislance du point M au point A dans toutes les positions qu’il pourra occuper, et sera ainsi devenue générale. En effet, si ce point vient en M’, ar = -f-AM’, y = — BM', et cette équation devient ainsi

+ AM' = AB— BM,

ce qui est vrai. Car le second membre de cette équation signifie que le point mobile s’est éloigné du point A de la quantité AB , dans le sens UV, et qu'il a ensuite rétrogradé, dans le sens contraire, de la quantité BM', de sorte que la distance au point A' est actuellement AM', laquelle doit être précédée du signe -{-, puisqu’elle est comptée dans le sens UV.

Si le point M est en M", on a x= — AM", y= — BM*, et la * formule {3] devient

— AM*= -(- AB — BM",

égalité identique , par la même raison que tout à l’heure.

24. Lorsqu'un terme n’est précédé d’aucun signe, oh le regarde comme précédé du signe +.

28. 11 résulte des idées que nous attachons aux quantités positives et aux quantités négatives, que l’on doit distinguer deux sortes de zéro : le zéro absolu, symbole d’un pur néant, et au-dessous duquel rien ne saurait en conséquence se trou ver, et un zéro-limite qui est le point de départ des quantités de même espèce soit positives, soit négatives. C’est, par exemple,

le zéro du thermomètre ; c’est l’époque d’où partent les chronologistes pour fixer la date des événements postérieurs et antérieurs à cette époque , etc. (Gergoxxe, Annales de Mathèma- * tiques.) ‘ %

20. Cela posé, si l’on imagine toutes les quantités d’une même espèce quelconque disposées par ordre do grandeur sur une même ligne depuis zéro jusqu’à l 'infini positif, c’est-à-dire jusqu’à la limite des grandeurs positives , en allant de gauche à droite, et depuis zéro jusqu a Y infini négatif, en allantde droite à gauche , on reconnaîtra 1° que toute quantité négative est moindre que zéro, car elle est plus éloignée d’une quantité positive quelconque que ne l’est zéro. Ainsi, la personne qui a — 40r est moins riche que celle dont la fortune est zéro.

2° Que de deux quantités négatives, la plus petite est celle dont la valeur absolue est la plus grande. — 40, par exemple, est plus petit que — 15, car ce premier nombre est plus éloigné d’une quantité positive quelconque que ne l’est le second.