A = PQ

et comme Q, sera encore une quantité entière, il en résulte nue A est divisible par P. • 1

•P Cas. P, A et B renferment (a -f l) lettres.

Supposons que P ne divise pas A, et ne soit pas d’un degré plus élevé que A , par rapport à une certaine lettre x : ordonnons-les suivant les puissances décroissantes de x , divisons A par P»et poussons la division jusqu'à ce qu’on trouve un reste

* Si p étal‘ d’nn degré supérieur à A , on le diviserait par a, et, A cehi près, il n’y aurait rien de changé à la démonstration. , . • •• ’

de degré moindre que P. Le quotient pourra contenir des coefficients fractionnaires, mais il sera entier par rapport à x. Soit M le plus simple multiple des dénominateurs de ces coefficients, multiplions A par M et divisons le produit par P : tous les tenues du nouveau quotient seront entiers, et en l'appelant Q et désignant par Ri le reste correspondant, on aura

MA=PQ-f-R,.

R, ne peut pas être nul, sans quoi le produit MA serait divisible par la quantité première P, et comme M est indépendant de x et ne renferme ainsi que n lettres au plus, on serait dans le troisième cas de notre démonstration, et on conclurait par conséquent que P djvise A ou M, ce qui n’est pas. R,, d’ailleurs, est entier, puisqu’il est la différence des deux quantités entières MA et PQ. ...

Cela posé, multiplions les deux membres de l’égalité ci-

dessus par le rapport p , il viendra

M^ = BQ +