BR

Donc, puisque P divise AB, il divise aussi BR,; de sorte que si R, est indépendant de x, P doit diviser B, car nous sommes alors dans le troisième cas, et R, qui est indépendant de x n’est pas divisible par P.

Si R, est une fonction de x, nous diviserons P par R,. Soit M, le facteur par lequel il faut multiplier P pour arriver à un quotient dont tous les termes soient entiers et à un reste de degré moindre que R, ; en nommant Q, et R, ce quotient et ce reste, nous aurons

R, n’est pas nul, car si cela était, tout facteur premier de R, qui serait dépendant de x devrait diviser M,P, puisqu’il diviserait R1Q1, et par conséquent diviserait M, ou P (3* Cas), ce qui est impossible. ,

Je multiplie les deux membres de la dernière égalité par le rapport pi ce qui donnera

M p BR| rv I BR»

ce qui montre que P doit diviser BR», puisque nous avons reconnu plus haut qu’il divise BR,. Si donc R» est indépendant de x, P divisera B (3* Cas) et le théorème sera démontré.

Si R» est encore une fonction de x, on divisera P par R», et en appelant M, le facteur par lequel il faut multiplier P, pour obtenir un quotient entier Q» et un reste R» de degré moindre que R», on aura

M,P=RSQ, + RS; d’où M,B = ^Q,+™J.

Cette dernière égalité montre que P divise BR» et par conséquent divise B, si R, est indépendant de x.

En continuant ainsi, on parviendra à un reste R, indépendant de x, puisqu’à un diviseur qui est une fonction de x ne peut correspondre un reste nul, ainsi que nous l’avons prouvé, et que chaque reste est nécessairement d’un degré moindre que le précédent. P devra diviser le produit de ce reste par B, et par conséquent divisera B (3* Cas).

Notre théorème se trouve ainsi démontré.

93. Théorème II. Toute quantité première P qui divise le produit de plusieurs facteurs entiers A, B, C, D, divise l'un d'eux.

On peut regarder le produit ABCD comme résultant de la multiplication du produit effectué ABC par D ; de sorte que P qui divise ce produit doit diviser ABC ou D. S’il divise D, le théorème est démontré, s’il ne le divise pas, il divisera ABC. Mais ABC est le produit des deux facteurs AB et C ; donc P qui le divise doit diviser l’un d’eux. S'il divise C, le théorème est démontré ; s’il ne le divise pas, il faudra qu’il divise AB, et par conséquent qu’il divise ou A ou B. Donc P divise nécessairement l’un des facteurs du produit ABCD.

54 DO M.ÜS GRAND COMMIT* DIVISEUR ALGÉRRIQlE.

94. Corollaire I. Lorsqu’une quantité première P divise une puissance d'une quantité entière A, elle divise cette quantité ( Arith . , 82).

98. Corollaire II. Lorsque deux quantités entières sont premières entre elles , leurs puissances sont aussi premières entre elles (Arith. , 83).

96. Théorème III. Une quantité entière ne peut être décomposée qu’en un seul système de facteurs premiers {Arith., 83).

97. Théorème IV. Toute quantité entière P qui divise k produit ÂB de deux quantités entières h et B et qui est première avec Tune d’elles k divise l’autre B.

Soient F, F' F"... les facteurs premiers de A, et Q le quotient de la division de AB par P, lequel est entier, par hypothèse; on aura

BFF'F"... = PQ.

Le premier membre étant divisible par F, le deuxième doit l’être aussi, et par conséquent ce facteur qui ne peut diviser P, puisque P est supposé premier avec A , devra diviser Q (92) ; donc en représentant par Q7 le quotient de la division de Q par F, et en divisant par F les deux membres de l’égalité précédente, on aura