Si l’on veut s’assurer a posteriori que wt bien la
valeur de a;, on substituera cette quantité dans l'équation [1], et il faudra que scs deux membres deviennent ainsi identiques. En effectuant cette substitution , on trouvera successivement
• ab-\-ad — ab-\-be bc-\~cd~\~ad — cd raos a — c a — c ’
ad-\-bc bc-\-ad
égalité identique.
151. 2e Cas. Considérons actuellement le cas général, et prenons pour exemple l'équation
ëf
dx
Si tous les termes de cette équation étaient des fractions de même dénominateur, il suffirait de le supprimer pour rentrer dans le cas précédent , et cette suppression n’altérerait pas l’équation, puisqu’en ne faisant ainsi que multiplier ses deux membres par ce dénominateur, les valeurs de x qui la vérifiaient avant cette multiplication la vérifieraient encore après *. Rédui-
* Pour qu'une équation ne toit pat altérée par la multiplication de tet deux membres par une même quantité , il faut que cette quantité toit indépendante dex, sans quoi on lui fera il acquérir des loludon» qu'elle n’avait pas. Ainsi l'équation x— 1=2, n'a pas d’autre solution que x=3; mais si l'on multiplie ses deux membres par x — A, on obtient une équation (x— t) (x— 4) = 2(x — \), qui est encore vérifiée par x = 3, mais qui l’est en outre par x = 4.
Il est de mime permit de dititer les deux membres d’une équation par une mime quantité, pourvu que cette quantité soit indépendante de x. Ainsi l'équation (x— i) (x — 4)=2 (x— 4) est vérifiée parx=3 et parx=4; mais si l’on supprime le facteur x— 4 , l'équation résultante x — l = 2 ne l’est plus que par x=3.
Dans aucun cas, le facteur par lequel on multiplie ou divise les deux membret d'une équation ne doit être nul; en effet , par la première opéra-
sons donc tous les termes au même dénominateur. Il viendra, d’après la règle connue (02),
bd afx bcfg cdx
bcf' bcf bcf bcf ’
et, en supprimant le dénominateur commun bcf,
bd -j- afx = bcfg — cdx,
équation, d’où l’on tirera successivement
afx-\-cdx = bcfg — bd,
en transposant les termes bd et — cdx ; , ;
(<if+ cd)x= b(cfg —d), en mettant x et b en facteurs communs; et
bjcfg—d ) af-\-cd ’
en dégageant a; de son coefficient.
132. En résumant les opérations que nous avons effectuées, pour résoudre les deux équations que nous venons de prendre pour exemples, on formera la règle générale suivante :
Pour résoudre une équation du premier degré aune sente in connue , commencez par faire évanouir les dénominateurs , en multipliant chaque terme entier par leur plus simple multiple , le numérateur de chaque fraction par le quotient obtenu en divisant ce plus simple multiple par son dénominateur, et en n’écrivant aucun dénominateur . Effectues ensuite les opérations qni pourraient être indiquées , puis exécutes toutes les simplifications
lion, elle change tout à fait de nature, puisque cette équation, qui avait seulement un nombre limité de solutions , devient ainsi susceptible d’être vérifiée par tous les nombres possibles. Telle est l’équation x— I = î , qui ne peut être vérifiée que par x=3 , tandis que si Ton multiplie ses deux membres par zéro , on trouve l'équation 0 . (x— t) =0 , qui est satisfaite par tel nombre que Ton y mettra au lieu de x. Et si Ton divise les deux membres d’une équation par un (acteur nul , elle n'a plus aucun sens.
RÉSOLUTION DUS ÉQI'ATIONS
< Ion I l'équation est alors susceptible, soit en faisant les réductions dans chaque membre , s'ils contiennent des termes semblables, soit en les divisant l’un et l'autre par leurs facteurs communs, s’ils en ont. Transposez tous les termes affectés de r inconnue dans un même membre, et tous ceux qui en sont indépendants dans l'autre : faites encore la réduction des termes semblables, ce qui réduira chaque membre à être un monome, si l'équation est numérique. Si elle est littérale, mettez l'inconnue en facteur commun des quantités qu’elle multiplie, et dégagez-la enfin de son coefficient. Vous obtiendrez ainsi la seule valeur que puisse avoir cette inconnue.
