I. DES ÉQUATIONS A UNE SEULE INCONNUE

124. Si l’on considère, avec un peu d’attention, la méthode que nous avons suivie pour résoudre les problèmes des n®*4 et 8, on verra qu’elle se compose de deux parties distinctes : dans la première, nous avons mis le problème en équation, c’est-à-dire que nous avons exprimé , à l'aide des symboles algébriques, les relations que l'énoncé établit entre les données et l" inconnue, ce qui, pour le premier de ces problèmes, nous a conduit à égaler entre elles les deux quantités 2r-f d et s ; dans la deuxième partie, nous avons tiré de l’équation ainsi formée la valeur de l’inconnue, ce qu’on appelle résoudre cette équation.

12o. Il n’y a pas de règle lixe pour mettre un problème en équation : tout ce qu’on peut dire de plus général à ce sujet revient au précepte suivant :

Examinez d'abord, arec soin, quelles sont les quantités dont la détermination pourrait conduire à la connaissance de toutes celles que l’on cherche , et ce seront là les véritables inconnues de la question. Représentez ces inconnues chacune par une lettre différente (on emploie ordinairement, ponr cela, les dernières lettres de l’alphabet ); puis, sans faire idoine distinction entre les données et les isconnles, effectuez sur les unes et sur les autres les mêmes opérations qu’il faudrait faire pour vérifier les valeurs inconnues, si elles étaient trouvées, et tous obtiendrez ainsi autant d’équations, que 1‘ énoncé dm problème en comporte .

120. Ces équations pouvant être plus ou moins compliquées, on les a partagée» en plusieurs classes que l’on distingue par

leur degré. Lorsqu'on * ramené une équation à ne contenir que des termes entiers , et on verra bientôt (152) que la chose est toujours possible , on prend pour valeur de son degré la plus forte somme des exposants des inconnues dans chacun de ses termes. Ainsi l’équation x* — 5x*y*-(-y — 3 = 0 est une équation du quatrième degré k deux inconnues. L’équation 2x-\ -d=s, trouvée au n° 4, est une équation du premier degré à une seule inconnue.

127. Résoudre des équations, c’est trouver tous les systèmes de nombres qui , substitués dans ces équations à la place des inconnues , y satisfont, c'est-à-dire rendent identiques les deux membres de chacune d'elles. Ces nombres sont ce qu'on appelle les valeurs des inconnues , ou les solutions des équations proposées. y ,

Il est clair que les équations proposées seront résolues, lorsque, par une suite de transformations exécutées sur elles, on sera parvenu à des équations dont un des membres ne renfermera qu’une inconnue seulement , et dont l’autre membre, ne contenant que des quantités connues, sera par conséquent la valeur de cette inconnue.

428. Il existe, pour résoudre les équations, des méthodes générales dont l’exposition est un des objets principaux de l’algèbre : pour prendre d'abord le cas le plus simple , nous supposerons quê l’on veuille résoudre une équation du premier degré à une seule inconnue.

Il y a deux cas à considérer, selon que l’équation aura tous ses termes entiers ou qu’elle en renfermera de fractionnaires.

1" Cas. Considérons l’équation

ax — b = cx-j-d [I].

Puisque cette équation sera résolue lorsque nous lui aurons fait subir une transformation telle que l’inconnue sera seule dans un membre et que l’autre membre ne contiendra que des quantités connues (127), il convient de foire évanouir le terme — à du premier membre et le terme ex du second, ce qui se

fera en ajoutant -f 6 — ex à ces deux membres, et cette opération n’altérera pas l’équation , car il est clair que les valeurs de x qui vérifiaient l'équation avant ce changement, la vérifieront encore après. On trouvera ainsi

ax — b-\- b — cx = cx-\-d -f- b — ex, ou , en réduisant 1,20) ,

ax — r jr == 6 — |— [2], .

Or, si l’on compare cette équation à la proposée, on reconnaîtra que le terme — b a passé du premier membre dans le second, en y prenant le signe et que le terme -j-cx, qui était dans le second membre, se trouve maintenant dans le premier avec le signe — ; donc

Pour transposer un terme d'un membre dans un autre, il faut le supprimer, dans le membre où il se trouve , et l’écrire dans l’autre avec un signe contraire au sien.

Reprenons maintenant l’équation [2]; en y mettant x en facteur commun des quantités qu’elle multiplie, il viendra

Mais celle-ci signifie que b 4- d est le produit de (a — c) par x, et qu ainsi on aura la valeur de x en divisant b -f- d par a — c, de sorte que

D’où l’on voit que quand vn des membres d’une équation est un monome qui contient x, et que Vautre ne renferme que des quantités données , on dégage cette inconnue de son coefficient, en divisant l’autre membre par ce coefficient.

129. L’équation [1] ne peut être vérifiée que par la seule valeur de x que nous venons de trouver, car toute valeur de x qui y satisfait doit satisfaire aussi à toutes les équations transformées que nous en avons déduites, et la dernière de ces trans-

formées ne peut être vérifiée qu’en y remplaçant x par