I> DE L’ADDITION

20. Dans toutes les opérations sur les quantités algébriques, nous distinguerons en général deux cas, suivant que ces quantités seront monomçs ou polynômes.

1° L’addition des monomes se fait en les écrivant les uns àla suite des autres avec leurs signes.

En effet, il est évident que la réunion de deux quantités de môme espèce et qui ont la môme mode d’existence , produit Une troisième quantité, ayant le môme mode d’existence que celles-ci, et dont la valeur numérique est la somme de celles qu’elles ont. Ainsi, qu’une personne ait deux dettes, l'une de 18000' et l’autre de 1200Or : sa fortune se composera de — 18000f et encore de — 12000', et en conséquence aura pour expression

— 18000' —.12000', ce qui fait — 30000'.

Si les quantités que l’on veut additionner ont des modes d’existence opposés, l’effet de leur réunion est de détruire dans

la plus grande une portion de cette plus grande, égale à la plus petite, de sorte que l’on obtient ainsi une troisième quantité, qui est numériquement égale à la différence de leurs valeurs absolues et est de môme sens que la plus grande. Par exemple, si une personne possède une propriété qui vaut 1 2000', et si elle doit 18000', sa fortune se composera de-|- 12600' et de — 18000*, et aura par conséquent pour expression

-f 12000*— 18000', ce qui fait — 6000'.

On a donc, en général ,

et cela est vrai lors môme que l’on attribuerait aux lettres a et b des valeurs négatives ; car il est évident que si, dans le premier membre de la seconde égalité par exemple, on remplace a et b par ces valeurs, et que l’on fasse ensuite l’addition, on trouvera le môme résultat que si l’on faisait immédiatement cette substitution dans le second membre de cette égalité *.

20. L’expression algébrique de la sommexle plusieurs monômes peut ôtre simplifiée , lorsqu’elle contient des termes Semblables (17). Si les termes sont tous affectés des mêmes signes, on donne à la partie algébrique qui leur est commune un coefficient égal à la somme de tous leurs coefficients, en conservant d'ailleurs le signe. 11 est évident en effet que4-2a’ô-j-5a*6-t-lla*é = -f-18a*6, et que — 6 a’6 — 80*0 — 120*0 = — 26a*6.

Si les termes semblables ont des signes différents, on additionnera séparément les coefficients de ceux qui seront positifs , et

* Observons que , d'après la convention du n- 22, le signe + placé devant une quantité littérale indique qu'il faut lui conserver le mode d'existence qui résulte des valeurs données aux lettres qui la composent, et que le signe — exprime , au contraire , qu’il faut changer ce mode d'existence. Ainsi, pour a =— 2, on a +a = — 2 et — o = + 2.

ceux des termes qui seront négatifs , on retranchera la plus petite somme de la plus grande , on donnera au reste le signe de cette plus grande et on le fera suivre de la partie littérale commune à tous les termes. Considérons en effet l’expression 2 a?b — 5 c?b — \a%b + 8a’è — 7(db. Il est évident que l’on peut intervertir l’ordre des termes de ce polynôme, sans altérer sa valeur; car cela revient à intervertir l’ordre dans lequel doivent être faites les additions et les soustractions qui y sont indiquées, ce qui est permis ; car ajouter, par exemple, 3 à 8 et retrancher 5 de la somme, revient à retrancher d’abord 5 de 8 et à ajouter ensuite 3 au reste, de sorte que 8 + 3 — 5 = 8 — 5 + 3. D’après cela, le polynôme proposé est équivalent à

2os6 + 8as5 — 5 a*b — 40*6 — 7o*5;

mais2a,ô+8a,5=10as5, et — 5a?b — 4 alb — 7 o*5= — 16a*5; de sorte que notre polynôme se réduit à

+ 10a’5 — 16o*6=— 6cfb.

30. L'opération par laquelle on réunit plusieurs termes semblables en un seul se nomme réduction.

31. 2° Pour additionner plusieurs polynômes , il suffira de les écrire les uns à la suite des autres , en conservant aux termes de chacun les signes dont ils sont affectés.

Soit, en effet, proposé d’ajouter le polynôme d — e au polynôme a — 5 + c. Je suppose que l’on ait effectué les opérations indiquées dans d — e, et je représente le résultat par rt P. La somme demandée sera donc équivalente àa — ô + c±P. Mais on peut intervertir l’ordre des termes de ce polynôme et écrire dbP + a — 6 + c, ou, en remettant d — e au lieu de ± P , d — e + a — b + c. Or, si l’on intervertit l’ordre des termes de ce dernier polynôme, il viendra

conformément à la règle énoncée.

32. N’oublions pas qu’ après avoir fait l’addition , il faudra

DES OPÉRATIONS LE L iLGÈBRE.

encore effectuer la réduction des termes semblables. C’est un soin qu’on ne devra jamais négliger, quand on aura exécuté chacune des autres opérations de l'algèbre.

Exemple. Additionner les polynômes

4ic* — +

— 6a’6-j- 8^ — 9c1 -f~ 1 bax1

7c1— 3a’b+ 8cP — 9x5 *

1 îlax'— 7 <P —3 a'b

Somme ax* — 5 a'b -f- c* +

§ n. DE LA SOUSTRACTION.

33. Pour effectuer la soustraction algébrique, écrivez tous les termes de la quantité à soustraire à la suite de celle dont on veut la soustraire, en changeant leurs signes : car, si l’on écrit à la suite du résultat ainsi obtenu tous les termes de la quantité à soustraire, ces termes se trouveront tous dans le polynôme résultant avec des signes contraires, et par conséquent ils s'entre-détruiront; de sorte qu’après la réduction, il ue restera plus que les termes de la quantité dont on devait soustraire. Le résultat trouvé est donc le reste demandé, puisqu’en lui ajoutant la quantité à soustraire, on obtient celle dont on doit soustraire (Arithmétique, 10).

Exemples. I. a — {-j-b)=a — b;