Lorsque le polynôme que l’on veut élever à une certaine

DES QUANTITES ALGÉBRIQUES, puissance est ordonné suivant les puissances d’une même lettre, on peut, en modifiant légèrement la méthode du n* 341 , faire en sorte que la puissance demandée soit ordonnée immédiatement, suivant les puissances de celte lettre. Supposons, par exemple, que l'on demande le cube du polynôme (a-j-ôx-j-cx’-J-dx3).

Je représenterai par ax la somme de tous les termes qui suivent le premier, c’est-à-dire que je poserai 5-f cx-j-Ær* = «; j’aurai ainsi

(a-)-5x-(-cx*-j-dx3)>=(a-(-ax), = a,-)-3a*ax -)- 3aa’x’ -)- a*x*.

Il s’agit actuellement de former a* et a*. Pour cela, je représenterai par Jîx la somme de tous les termes qui, dans la valeur de «, . suivent le premier, c’est-à-dire que je poserai c-f-rfx=p, et j’aurai ainsi

«’= (&+ px)’= 6*+ 2ôpx-(- p’x*,

a*= (b + px)’=5»+ a^px+a^x* -(- pv.

Il faut actuellement calculer p‘ et p* ; mais, comme p représente le binôme c -f- dx, il u’y aura aucune difficulté pour cela, et on trouvera •

p* = c* -f 2 cdx + <Px\ p* = c» + 3c*dx -f Scd’x* -f d*x\ et par suite • '

«feiM+îSc* +2bd |i»+2e(t*»-l-<ftc*,

«*a^+3b,c*-Hb>d^-Hbcd|ï3+3bd>p+ SrdW+d5** ,

+3b«>| +e» | +3e>dl

et enfin, pour le développement demandé,

aM-Sa’bx+i*? c l^+Sa’d -|-3ab:l +6abc

r’-t-Sobdl:

+30C1 +3bM +3iJc I +3bc‘

i*-t-6 aed i*+3a<P

+0 bed +C3

+3CMI

. 544. Il arrive souvent que , dans le développement d'une puissance d’un polynôme ordonné suivant les puissances ascendantes de x, on n’ait besoin que des premiers termes de ce développement; on peut encore les obtenir facilement par la méthode précédente, et en évitant de calculer des termes de degré supé*

K lSSANCES Kl RACINES

rieur à ceux dont on a besoin. Supposons, par exemple, que l’on .demande les quatre premiers termes de la cinquième puissance du polynôme a-lrbx-\-cx>-\-djfi-i(-ex',-\-fxi-\-gx *. Je poserai, comme précédemment,

b -f ex + dx* -f ex* -f /ic* - f yx* = « ,

et le développement demandé sera équivalent à

( a + ax)‘= o5 5a*«x -j- 1 0 aVx* 4- 1 OaVx3 4-. . . :

on s’arrête au terme en x“, puisqu’on n’a pas besoin de termes d’un degré supérieur au troisième. On voit , d’après cela , que dans les valeurs de a, a*, <**, on ne devra pas conserver de termes d’un degré plus élevé respectivement que le deuxième, le premier et le degré zéro par rapport a x. Je pose actuellement

c dx ex' fx* gx* = fi ,

et j’en conclus

a»=(64-px)’ = ft*4-2^, «* = *'•

Pour que a’ soit du premier degré en x , il faut que fi soit du degré zéro ; donc

p = c, 0L — b-\-cx-\- dx>, a'=ô1 4~2èw, «*=&*, par suite

(a4-6a:4-cx,4-...)‘=a54-5a‘èjr4-5o‘cjx,4-5a*d ^4-...

tO«sèi -j-20 o*èc 4-lOè"