VIU. RACINE CARRÉE DES POLYNOMES

3415. L’extraction de la racine carrée des polynômes repose sur les deux principes suivants •

1" Principe. Lorsqu’un polynôme et son carré sont ordonnés pur rapport aux puissances d'une même lettre, le premier terme du carré est sans réduction le carré du premier terme de ce polynôme.

DES QUANTITES ALCKURIQt ES.

Ce principe n'est qu’un cas particulier de celui qui sert de base à la théorie de la division des polynômes (38).

3Î(Î. 2* Principe. Lorsqu’ un polynôme el son carré sont ordonnés par rapport aux puissances d'une meme lettre, si du carré total on retranche le carré de ta somme des n premiers termes du polynôme , le premier terme du reste sera sans réduction le double produit du premier terme de ce polynôme par son fn 1 )”** terme.

Représentons, en effet, par A la somme des n premiers termes du polynôme, et par B la somme des termes suivants, de sorte que l’expression de ce polynôme sera A -(- B ; celle de son carré sera donc A’-f- 2AB-|-B8, et si l’on en retranche le carré de la somme de ses n premiers termes, c’est-à-dire A’, il restera 2AB-|-B\ Or, si l’on suppose que l'on ait ordonné par rapport aux puissances décroissantes, par exemple, d'une même lettre, on voit que, A renfermant cette lettre à une puissance plus élevée que B, elle aura dans A.2B=2AB un exposant plus élevé que dans B B = B’; donc le premier terme de 2AB sera l« premier du reste; mais ce premier terme est sans réduction le double du produit du premier terme de A, c’est-à-dire du premier terme du polynôme proposé, par le premier terme de B, c’est-à-dire par le (n-fl)"‘e terme de ce polynôme; donc, etc.

347. Ces principes établis, passons à l’extraction de la racine carrée d’un polynôme. J’ordonne ce polynôme par rapport aux puissances d’une même lettre, et je conçois que la racine demandée soit ordonnée de la même manière. En vertu du premier principe, le premier terme du polynôme est sans réduction le carré du premier terme de cette racine; donc nous aurons ce premier terme en extrayant la racine carrée du premier terme du polynôme. Maintenant, en vertu du deuxième principe, si du polynôme on retranche le carré du premier terme de la racine, le ' premier terme du reste sera sans réduction le double du produit du premier terme de cette racine multiplié par le deuxième : donc, en le divisant par le double du premier terme de la racine, on obtiendra le deuxième terme de cette racine. En vertu du c. 17

Tv ' .’*r- :

258 , PUISSANCES ET RACINES

même principe, si du polynôme proposé on retranche le carré de la somme des deux premiers termes de la racine, le premier terme du reste sera le produit du double du premier terme de cette racine par le troisième ; donc en le divisant par ce double, on trouvera ce troisième terme. Mais nous observerons qu’au lieu de retrancher du polynôme le carré de la somme des deux premiers termes de la racine, il suffira de soustraire du premier reste, le double produit du premier terme de la racine par le deuxième, plus le carré du deuxième, puisqu’on a déjà retranché du polynôme donné le carré du premier terme de la racine. Ainsi on écrira le second terme de la racine à la suite du double du premier, on multipliera le binôme ainsi formé par ce second terme , on retranchera Te produit du premier reste , et en divisant le premier terme du nouveau reste par le double du premier terme de la racine , on obtiendra son troisième terme. En continuant ainsi , on trouvera successivement tous les termes dont la racine doit se composer, et on disposera le tableau des calculs, comme nous l’avons fait dans l’arithmétique, pour l’extraction de la racine carrée des nombres.

Si le polynôme proposé n’est pas un carré parfait, l’application de la méthode que nous venons d’exposer conduira à une expression de la racine qui sera composée d’une infinité de termes : il est donc nécessaire desavoir à quel point de l'opération il convient de s’arrêter , pour reconnaître que la racine n’est pas exacte et éviter ainsi des calculs inutiles. Or, si le polynôme donné était un carré parfait, son dernier terme serait sans réduction le carré du dernier terme de la racine (548), et par conséquent le dernier terme de celte racine serait la racine carrée du dernier terme de notre polynôme. On arrêtera donc l'opération quand on sera parvenu à un reste nul, auquel cas le polynôme trouvé sera évidemment la racine demandée (puisqu’on aura obtenu ce reste nul en retranchant son carré du polynôme proposé), ou à un reste tel qu’en divisant son premier terme par le double du premier terme de la racine, on serait conduit à écrire à cette racine un terme dans lequel l'exposant de la lettre ordon-

DES QUANTItÊS ALGÉBRIQUES.

natrice serait, moindre vu plus grand que la moitié de celui qu’a cette lettre dans le dernier terme du polynôme , suivunt que ton aura ordonné par rapport aux puissances descendantes ou ascendantes (tune même lettre. On sera sur alors que ce polynôme

n'est pas un catré parfait.

348. Il existe des caractères auxquels on reconnaît immédiatement qu’wn polynôme n'est pas un carré parfait ; ce sont les suivants :

1* Si son premier terme étant un carré parfait , le dernier n'en est pas un ; car on ne trouvera à la racine que des termes rationnels, et le dernier terme de cette racine ne doit pas l’étre.-

2° Si le polynôme étant entier, le premier tenue d’un reste n'est pas exactement divisible par le double du premier terme trouvé à la racine, car alors cette racine serait fractionnaire, et par conséquent son carré le serait aussi.

«340. Extraire la racine carrée de 4x* — 12ax’+25a’x' — 24a'x -f!6a‘. • / >

4x* — 12ax,+25a’x* — 24a*x+16a* — 4x*

+ 12ax* — 9a’x*

2x* — 3ax+4a’ 4x* — 3 ax — 3 ax

Ax ' — 600+4(1* +4o*

Le premier terme de la racine est 2x* qui est la racine carrée de 4x*. On retranche le carré de 2x* du polynôme et on divise — 12ax*, premier terme du reste , par 4a:’ double du premier terme delà racine. On trouve — 3ax pour le deuxième terme. On l’écrit à la droite de 4x*, on multiplié le binôme 4x*— 3ax par — 3ax, on soustrait le produit du premier reste, et on divise le premier terme +t6a’x* du deuxième reste par 4x*, ce qui donne 4a’ pour troisième terme de la racine. On écrit 4a’ à la suite de 4x’— 6ax double de la somme des deux premiers termes de la racine, et on retranche du deuxième reste le produit du trinôme 4x*— 6ax+4a* par 4a’. Le reste est nul, et ainsi la racine demandée est±(2x’ — 3ax+4a’).

PUISSANCES ET RACINES

530. Problème. Etant donné le polynôme Ax*-j-Bxs-j-Cx' 4-Dx-j-E, trouver les relations qui doivent exister entre ses

coefficients A, 1$, C, D et E, pour qu'il soit un carré 'parfait.

Si les coefficients étaient déterminés comme on le demande, il faudrait qu'en extrayant la racine carrée du polynôme on trouvât un reste nul: mais puisque le polynôme est du quatrième degré par rapporta#, sa racine sera du deuxième; donc le reste correspondant au terme de cette racine qui est indépendant de x sera du premier degré , et par conséquent de la forme Atx-(-À* Ce reste devant être nul, quelque valeur que l'on assigne à x, il faudra, pour qu'il en soit ainsi, que Ai et As soient chacun égaux à zéro ; car, x conservant une indétermination complète et restant une quantité purement algébrique, les termes du polynôme A^-f-A, sont dissemblables, et par conséquent ne peuvent pas s’entre-détruire , de sorte que ce polynôme ne sera nul qu’autant que chacun de ses termes sera séparément égal à zéro*. Extrayons donc la racine carrée du polynôme proposé, et nous trouverons que le reste du premier

. , (n B(4AC— IP) a ' (4AC — B*)’ , ,

degré est » D ^ — l x+ E— — donc les

équations de condition demandées sont

n B;4AC-IP)„ „ (4AC-B7„

ou bien , en chassant les dénominateurs ,

B*— 4ABC+ 6A‘D=tO , (B‘— 4AC)* — 64A!'E=0.

On trouve ainsi deux équations entre les cinq coefficients A , B, C, D, E, et on peut par conséquent disposer arbitrairement de trois d’entre eux. . . .

* Comme ce raisonnement s’appliqueraitlrès-bien b un polynôme composé d’un plus grand nombre de termes, on peut établir le théorème suivant : four qu’un polynôme ordonné suivant les puissances d’une certaine lettre x soit nul, quelque valeur que l’or puisse assigner a cette lettre , il faut et il suffi que le s coefficients des diverses puissances de x soient chacun dfaus à xdro. • . ■

DES QUANTITES MGÉBRIQUES. . 261