agh ) ( bcf) 4- ( bhf) (cag)+(cfg)( abh

— 4{abc)(fgh)~i-8(fg/i)' — (abc)’.

En opérant sur $ successivement avec les trois formes U, U', U", nous aurons un système remarquable de trois contrevariants linéaires découverts par M. Hermite; si nous les désignons par l\ 4- mn 4 - »$, l'\ 4- m'n ■+- n'Ç, l 4- m"n 4- «*Ç, les coefficients l, m, n contiendront au deuxième degré ceux de U et au premier degré ceux de U' et U"; de même /', m', n' renfermeront au deuxième degré ceux de U' et au premier ceux de U et U", etc.; on déduit immédiatement de ces contrevariants un système correspondant de covariants linéaires, savoir Lx 4- Mj4- N z, L'.r 4- M'^4- N' z, L"x 4- M"^ 4- N" a, les quantités L, M, N,... étant les mineurs du déterminant ( Imn ) correspondant à /, m, »,

Ce déterminant est lui-même un nouvel invariant 2 des trois formes U, U', U", et contient, de même que le résultant, les coefficients de chacune d’elles au quatrième degré; il n'est cependant pas identique au résultant qui s’exprime fort simplement, ainsi que nous le verrons plus loin, en fonction des deux invariants 0 et 2.

194. Formes cubiques. — L’expression générale de la forme cubique ternaire est

U = ax 3 4- 6jr‘ 4- cz 3 4- 3 fy 3 z 4- 3 f'yz 3 4- 3 gxz 3 4- 3g-' x 3 z 4- 3/iyx 3 4- 3/t'y'x 4- 6/xj z.

Ramenée à la forme canonique, elle se réduit simplement à U = x 3 4- y 3 4- z 3 4- 6 Ixyz.

Les invariants fondamentaux découverts par M. Aronhold sont ceux dont nous avons donné (129, 130) la formule symbolique

En effectuant les opérations indiquées, on a

S = /• — a(/g' + hf 4- gh' ) /*

4 - [aff 4 - bgg' 4- chh' 4- 3/g/i 4 - 3/'g'A' — abc ) l ~ « If g +/' J A') ~ b (g’ h 4- g' 1 /') - c[h 3 f+ h' 3 g')