IX

rfU rfu ....... .

: pour plus de simplicité, nous ferons usage des

formes canoniques, et nous aurons

U = ax 7 4- by 7 4- cz 7 , U' = a' j v 7 4- b’ y 7 4- c’ z 7 ,

G = bc^ 7 4- can 7 4- a6Ç% G' = b'c’^ 7 4- c'a'n 7 4- a'b'l

A = abc, 0 = «' bc 4- b' ca + d ab,

A'— a b' c, 0' = ab' d 4- bc' a' -t- ca' b' ,

4> = (b 1 c 4- bc')% 7 -t- ( ca' -4- c' a) T) 1 -4- ( ab' 4- a' b) Z, 7 ,

F = «a' (b'c + bc' ) x 7 -\- bb' ( ca' -+- d a) y 7 4- cd ( ab ' -h a' b) z 7 .

En effectuant la substitution, on trouve pour la valeur du covariant cherché 0' U — F.

Il faut remarquer que les théorèmes de cette nature une fois démontrés pour les formes quadratiques le sont également pour des formes de degré plus élevé, en admettant que les coefficients a, b, c , ... représentent leurs dérivées du second ordre: A et A' deviennent alors les Hessiens, 0 et 0' des covariants. Ainsi, lorsque l’on remplace dans le cova-

206 quinzième leçon.

riani

i - rfMLT __ / rf»U' \»~] /</U\-

** | r/z 1 «fy - 1 \</z</y / J \</r / ~ + ~”‘

les premières dérivées de U par leurs valeurs en fonciion des » dérivées du second ordre, on obtient une quantité de même forme que ci-dessus, et il vient

( n — i )* iji = n ( n — i)0'U — F;

d’où, en permutant U et U' et désignant par <J>' un nouveau covarianl analogue à <}i,

et retranchant

192. Nous allons maintenant faire connaître les invariants et covariants d’un système de trois formes, U, U', U"; plusieurs d’entre eux possèdent des propriétés remarquables qui établissent, ainsi que nous le verrons plus loin, un lien entre la théorie des formes quadratiques et celle des formes cubiques.

En développant, pour obtenir des invariants du système, le discriminant de XU 4 - f*U' 4 - vV, nous aurons une fonction du troisième degré en 1, p, v, dont les coefficients sont des invariants; nous obtenons ainsi, outre les invariants A, A',..., 0, 0',... que nous connaissons déjà, un nouvel invariant I, qui est dans ce développement le coefficient de f*, v, et

dont la formule symbolique est 123 . Sa valeur a déjà été donnée (127); en rapprochant les termes semblables, elle peut aussi s’écrire

I = ab'c"+ ab" c' -4- a' bc" 4- a' b " c -4- a" bc' 4- a" b' c

+ 2 ifs' h" +fg"h! + f'gh ' +f g" h +f"g/ï 4 -f'g'h)

- a [af'f" 4- a'ff"+ a"ff ) — *{bg'g"+ b'gg"+ b''gg')

— 2 ( ch' h" 4- c' hh"-\- c" A/l'),

et sous celte forme on voit sans peine que 1 se déduit du discriminant A d’une seule forme U, en y remplaçant chaque terme par six nouveaux termes, tels que ab'c", ab"c',..., résultant de la permutation des coefficients de U, U', U".

Le covariant le plus important est le Jacobien 12 'i, qui est du troisième degré par rapport aux variables et aux coefficients; en représentant, pour abréger, comme nous l’avons déjà fait plusieurs fois, par (abc) le déterminant des neuf coefficients a, b, c, b\ c , a", b", c", la valeur de J est

J ~(agh)x 3 + ( bhf)y 3 -4- ( cfg) z 3

— [(bch) + ( bfg )] y 3 z -4- [( cbg ) - 4 - ( cfh )] yz *

— [( <•*«/) -+- (<#)] z 3 x -4- [( ach)-h(agf)\ zx'

— [(abg) -4- ( ahf )] x'y - 4 - [( baf ) + (bhg)] xy 3

— [f abc) y - 2 ( fgh )] xyz.

On a vu (70) que, si les trois courbes U, U', U" ont un point commun, ce point est un point double sur la courbe J; par conséquent, si les trois sections coniques ont deux points communs, la courbe du troisième degré représentée par J se résout en une droite et une section conique.

Il existe aussi un contrevariant du troisième degré par rapport aux variables et aux coefficients; il a pour formule symbolique £ 1 2 . Ç23 . £ 3 i, et son expression développée est

O = ( bcf ) l 3 -4- ( cag) 7) 3 -4- ( abh ) Ç’

— [(caA) -t- 2 [ugf)]-n 2 K + [{bag) ■+■

— \( a bf) + 2 {bhg)] 5 * 5 - 4 - [[cbh) -1-2 {bfg)]Xg

— [(Acg) -4- i{cfh)]l 3 r> -4- [[acf) -4- 2 (cgh)]\-n 3

-4- [(aie) — 4(/gA )]£«£.

Les deux fonctions J et $ sont susceptibles de plusieurs interprétations géométriques. D’après la définition de la fonction J, elle exprime la condition nécessaire pour que l’on puisse trouver un système de valeurs x ' , y', z’ satisfaisant aux

trois équations

x -jz y zz

, rfU

* dï=°'

, rfU'

2 dz

, dH" , <fU" , rfU"

dx , dy dz

mais ces équations ne sont autres que celles des polaires d’un point par rapport aux trois sections coniques U, U', U": la courbe J est donc le lieu des points pour lesquels ces trois polaires concourent en un même point.

Quant au contrevariant <ï>, il exprime que la droite

x\ -t -ym 4-

est coupée en involulion par les trois sections coniques.

193. Si l’on opère avec l’une des fondions J et<I> sur l’autre fonction, on obtient un invariant du sixième ordre

— 8 [ ( a fg ) ( kfg) + (• af /l ) ( cfh ) ( bgh ) ( cgh }]