Le covariant le plus simple est le Hessien

H = / : ( ar 3 4 - y 3 -+- z 3 ) — { i -+- 2 l 3 ) xyz.

C’est le seul covariant indépendant du troisième degré; car les autres, étant également de la forme

m { -i- y 3 -+- z 3 ) -l- 6 V xyz,

peuvent tous s’exprimer en fonction linéaire de U et de H. Ainsi le Hessien de H étant du neuvième ordre par rapport aux coefficients, il faudra, si l’on veut le mettre sous la forme a U -I- ( 3 H, que a soit du huitième ordre et [3 du sixième. Ces deux facteurs ne différeront donc que par des coefficients numériques de S 3 et T, et en effet l’expression demandée est 4 S 3 U — TH.

Nous aurons immédiatement des conlrcvarianls en formant les évectants de S et T. Le premier évectant de S est

le second se réduit à zéro. Si l’on opère avec la fonction s sur le Hessien H, on obtient un invariant du sixième ordre, qui n’est autre que l’invariant T, ainsi que nous l’avons déjà démontré ( 130 ). Les deux premiers qvectanls de T sont

t = (i — 1 o /*) ( Ç* -+- yj* -t- Ç 1 ) — 6/ 3 (5 •+- 4 1 3 )

/, = ( £ -4- y, 3 -t- Ü ) 3 - 4 ( 1 + 8 /’ ) ( rj 3 Ç 3 -4- Ç 3 -t- )

— 24 Z 1 (H 3 -1- yj 3 + — 24/(1 -I- 2 / 3 )£vç\

Tous les autres contrevariants pourront être exprimés en fonction de s, t et

Le covariant mixte le plus simple est du second degré par rapport aux deux séries de variables; sa formule symbolique

est «12 , et sa valeur pour la forme canonique

txi 2 . 7 = [yz — l 7 x 7 ) \ 7 + [zx — l'y 1 ) n 7 4- (xy— l 7 z 7 )Ç 7

-I- o.l[lyz — x')-n* 4- 2 l[lzx — y 7 )X& 4- 2 l[lxy— z l )b j.

Il existe un autre covariant mixte gauche du troisième degré par rapport aux deux séries de variables et aux coefficients; sa valeur est

«12 .ai 3 = £ j (7' s — x 1 ) 4- yî 3 ( z 3 — x 3 ) 4- Z , (x i — y 3 )

— rj’Ç [( i -+- 8 l 3 )y 7 z -t- 6 Iz'x -t- iT.l'x'y)

-t- v)Ç s [(i 4- 8 l 3 )yz 7 4- 6ly 7 x 4- 1 il 7 x 7 z~\

— Ç’S [(• ■+■ 8/ 3 ) z'x 4- 6lx 7 y 4- 1 il'y'z)