fyi 7 [( i H- 8/ J ) xy 7 4- 6 lx 7 z 4- iil 7 z'y

196. Nous avons vu qu’il n’existe que deux covariants du troisième degré, savoir la forme U et le Hessien II. Lorsque l’on adopte la forme canonique, les deux quantités x’4-j J 4- z 1 et xyz pouvant s’exprimer en fonction de U et II, il est clair qu’il en sera de même de tout covariant qui sera simplement fonction de ces deux quantités. Mais l’expression générale d’une fonction symétrique de trois variables x 3 , y 3 , z 3 doit nécessairement renfermer trois éléments, tels que leur somme x 3 -\-y 3 -hz 3 , leur produit x 3 y 3 z 3 et la somme x 3 y 3 -hy 3 z 3 4- z 3 x 3 de leurs produits deux à deux; il nous faut donc adjoindre à U et H au moins un troisième covariant qui nous donne la valeur de cette dernière quantité. M. Cayley a choisi dans ce but celui

que l’on obtient en remplaçant dans le covariant mixte «12

r rf»u (/-u 1 d 7 u vi (du y ” ~ L dy 7 dz 7 \dydz) J \ dx ) ~ l "

Ce covariant est du sixième degré par rapport aux variables et

du huitième par rapport aux coefficients; son expression développée pour la forme canonique est

— ( il -t- 5 /‘ + 2o/’)(j: î + i r î + J ! ) xyz

— (i 5 / J 78 /* — 1 il’) x t y , z*.

Nous pourrons donc exprimer tout covarianl en fonction de U, II et 0 . Les mêmes considérations s’appliqueront aux contrevariants qui peuvent tous s’exprimer en fonction de s, l, t,. Mais il ne suit pas de là que l’expression de ces fonctions soit nécessairement rationnelle; c’est ainsi qu’une fonction parfaitement symétrique des racines d’une équation s’exprime rationnellement au moyen des coefficients, tandis qu’il n’en est plus de même si elle n’est symétrique qu’abstraction faite de son signe (tel que serait, par exemple, le produit des différences des racines). Ainsi les deux déterminants

dï

drt

dï

rfH

dt ;

dt !

ûf©

diè

dt,

dr\

nous donnent un co\ariant J et un conlrevariant j (*) qui ne sauraient être exprimés rationnellement en fonction des covariants et contrevariants pris pour types, tandis que leurs carrés peuvent l’être sans peine. On a en effet, en désignant comme ci-dessus par A le discriminant (1 + 8/ 3 ) 3 ,

7 = A(Ê 3 --/j 3 )(ti 3 -?;*)(Ç 3 - ?).

(*) Ces deux fonctions trouvent, ainsi que Tont fait voir M. Erioschi et M Hormile, une application importante dans la transformation des fonctions elliptiques.

Des expressions de U, II el 0 on tire

0 + /»( 2 + /;)tP-/( 2 -5/ 3 )UH + 3/ 1 IP (/’U - II) 1

et par suite on aura la, valeur de J 3 en formant le discriminant de l’équation du troisième degré

AV S — v'Â 3 [(i 4- 2/ 3 )Ü4-6/H]V’‘