CHAP. III. — FONCTIONS SOMMABLES ET FONCTIONS A VARIATION BORNÉE

choisit £ positif et très petit, on peut définir un ensemble E,, composé d'un nombre fini d'intervalles, tel que l'ensemble des points de E n'appartenant pas à Ej ait une mesure inférieure à z et qu'il en soit de même de l'ensemble des points de E, n'appartenant pas à E. Cela résulte de ce que, / étant la mesure de E, les points de cet ensemble peuvent être compris dans une infinité dénombrable d'intervalles de longueur totale inférieure à /-f-£, et qu'on peut réduire ces intervalles à un nombre fini en enlevant des intervalles de longueur totale inférieure à s. Nous pouvons alors dire, en langage moins précis, que Von peut approcher autant que Ion veut d\in ensemble mesurable B par des ensembles composés d' an nombre fini dHnlervalles.

17. Quoique la notion d'ensemble mesurable B soit très générale, il existe des ensembles qui ne sont pas mesurables B. Peut-on leur étendre la notion de mesure? On peut être tenté de croire que cette notion peut s'étendre à tous les ensembles de points d'une droite, et que seule l'impuissance de nos moyens de définir la mesure ne nous permet pas de le faire dans tous les cas. 11 n'en est rien. Nous allons compléter ces remarques en montrant qu'on peut concevoir un ensemble qui n'est certainement mesurable par aucun procédé.

Répartissons les points d'une circonférence de rayon i en ensembles E tels que, si A est un point d'un de ces ensembles, tous les autres points du même ensemble soient obtenus en portant de part et d'autre de A sur la circonférence les longueurs entières 1,2, .... Appelons C un ensemble qui contienne un point et un seul de chacun des ensembles E.

Au sujet de cet ensemble C^ nous devons signaler qu'on ne sait d'aucune manière énoncer une règle pe'rmettant de définir quel est Félément qu'on choisira dans chacun des ensembles E; les règles de cette sorte que l'on peut chercher à former s'appliqueront à certains ensembles Y-, quelquefois à une infinité, mais non à tous. 11 en résulte que, parmi les ensembles C que l'on peut concevoir, il est impossible d'en choisir effectivement uîi. D'après MM. Borel, Baire etLebesgue, cette circonstance doit rendre très prudent sur les raisonnements où interviennent des ensembles tels que H. Nous pensons quand même que ces raisonnements ne doivent pas être interdits, pas plus que l'impossibilité pour deux physiciens de savoir s'ils pensent au même

atome d' hydrogène ne doit les empêcher de raisonner sur ces atomes.

Soit donc C un des ensembles répondant à la définition que nous venons de donner. Appelons Cn et C n les ensembles déduits de vL' par une rotation de n dans un seiis et dans l'autre. H est évident que la réunion des ensembles

comprend tous les points du cercle, sans qu'aucun point soit obtenu deux fois.

Ceci posé, si C avait une mesure, tous les ensembles Cn et C fi auraient la même mesure ('). Cette mesure ne peut être finie puisqu'il faut une infinité d'ensembles égaux à C pour constituer toute la circonférence. Elle ne peut pas non plus être nulle, car a^, a,, . . . , a,i, . . . étant des nombres positifs quelconques, on pourrait affirmer que C a une mesure inférieure à «o, que Cn et C u ont une mesure inférieure à «„, et que, par suite, la réunion de ces ensembles, qui constitue toute la circonférence, a une mesure inférieure à

«0+ 2(ai-i- a2 -+-.■. .4- ««-+-.. .),

quantité qu'on peut rendre aussi petite qu'on veut puisque les a sont quelconques. L'ensemble C n'est donc pas mesurable; du moins une définition de la mesure ne peut s'applicpier à cet ensemble que si elle n'est pas telle que la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles ait pour mesure la somme de ces ensembles, et une définition n'ayant pas cette propriété ne correspondrait en rien à la notion intuitive de mesure.

18. Les notions précédentes s'étendent sans peine aux ensembles de points du plan ou de l'espace, ou même d'un espace à n dimensions.

f^laçons-nous dans le plan, par exemple; on peut définir la notion de mesure par généralisation de la notion d'aire; on peut aussi, dans le plan, avoir à considérer des ensembles de points situés sur une

(') Une géiKTalisalion de la notion de mesure pour la(|uelle deux ensembles superposables tels que C et *!^,, n'auraient pas même mesure serait sans intérêt. {Voir H. Lebesgue, Loc. cit., p. io3.)