CHAP. III. — FONCTIONS SOMMABLFS ET FONCTIONS A VARIATION BORNÉE
courbe et leur appliquer la notion de mesure généralisant celle de longueur. Pour éviter toute ambiguïté, on dit, dans le premier cas, mesure superficielle et, dans le second cas, mesure linéaire.
Nous aurons aussi à considérer la mesure linéaire de la projection d'un ensemble sur une droite; celte mesure ne peut être nulle que si la mesure superficielle est nulle.
19. Fonctions mesurables. — Une fonction x{t)^ définie dans un intervalle («, b)^ est dite mesurable s\^ quel que soit le nombre^, l'ensemble des points de cet intervalle pour lesquels x <c\ est mesurable. Soit l=f(^) sa mesure. La fonction /(ç), qu'on appelle fonction sommatoire de x[t)^ dans l'intervalle {a^ 6), n'est jamais décroissante, c'est-à-dire que
entraîne
Si x[t) n'est infini qu'au plus pour les points d'un ensemble de mesure nulle, y'(^) croît de o à L = 6 — a lorsque ^ croît de — co à-hoo. Cette fonction peut croître par bonds discontinus; si x{t) est égal à une certaine valeur ^ pour tous les points d'un ensemble de mesure a non nulle, la fonction /(ç) croît l)rusquement de a lorsque \ devient supérieur à cette valeur.
L'ensemble des points de l'intervalle («, b) pour lesquels
a pour mesure
Toute fonction continue est mesurable. 11 en est de même des fonctions admettant un nombre fini de discontinuités. Mais la notion de fonction mesurable est bien plus générale.
On démontre aisément que la somme, le produit, le quotient de deux fonctions mesurables sont des fonctions mesurables, et que toute opération continue, efïectuée en partant de fonctions mesurables, donne de» fonctions mesurables.
20. Intégration des fonctions mesurables bornées. — Si, dans tout l'intervalle (a, b)^ on a
il suffit de faire varier ; de m à M pour que /(?) croisse de o à L = 6 — a.
Divisons l'intervalle (m, M) en p intervalles partiels par des points de division :r, , ^o, . . . , Xp^. Désignons par H/ un nombre quelconque de l'inteiValle (:r/,, Xi) (en posant XQ=^m, .r^— M), et par T>f{xi) raccroissement de f{x) dans le même intervalle, c'est-à-dire f{xi) — /(xi^); c'est une quantité essentiellement positive. Considérons la somme
Elle est comprise entre ^'^/, D/(j^/) et S^/D/(^/). La prendère de ces quantités allant en croissant quand p augmente, la deuxième en décroissant, et leur différence
tendant vers o cjuand le nombre des points de division augmente indéfiniment, leplus grand des intervalles {Xi.i^ Xi) tend vers o. L'expression (i) a donc une limite dont on démontre aisément, comme dans la théorie des intégrales définies ordinaires, qu'elle est indépendante du mode de division adopté. 11 est naturel de désigner cette limite par
en utilisant une notation (intégrale de Stieltjes), que nous généraliserons plus loin.
Dans le cas où x{t) est une fonction continue, on démontre aisément cjue l'intégrale (2) est égale à
(3) / x(t)dt.
La figure ci-conlre montre en effet clairement cjue le produit HiD/(x/) représente l'aire de l'ensemble des rectangles de hauteur H^ et ayant pour bases sur l'axe des t les intervalles (^/,, ti)^ {t'i^ ^-1)5 (4-15 4) dans lesquels x{t) est compris entre :r/, et xi. L'indice i variant de i à />, ces intervalles réunis constitueront tout Fintervalle (a, b) , et l'expression (i) est représentée par une aire, limitée
CriAP. m. — FO-NCIIONS SOMMABLES ET FONCTIONS A VARIATION BORNEE. 20)
supérieurement par une ligne brisée dont l'ordonnée diffère de x{t) d'une quantité inférieure au maximum de {xi — ^/^i)- Cette aire tend donc vers l'aire curviligne représentée par l'intégrale (3).
Cette théorie est due à M. Lebeseue. Son intérêt consiste en ce que l'expression (2)'Conserve un sens dans des cas où l'intégrale au sens ordinaire du mot n'en a pas. On peut alors considérer l'intégrale de x{t) dans l'intervalle («, h) comme égale, par définition, à l'expression (2).
On remarque, en effet, que l'on peut modifier la valeur de x{t) pour les points d'un ensemble de mesure nulle sans rien changer à la fonction sommatoire /(;), et par suite sans rien changer à l'intégrale (2), qui ne dépend pas de cette fonction. Au contraire, par un
Fiff. I.
oc
^::,tï.
tel changement, la fonction ^(^), si elle était continue, ne le reste pas, et l'intégrale (3) cesse d'avoir un sens.
Un ensemble de valeurs prises par la fonction x{t)^ au point de vue de l'intégration des fonctions mesurables, n'a donc d'intérêt que si l'ensemble des valeurs correspondantes de ^ a une mesure non nulle. Ainsi l'intervalle {xi\^ Xi) n'est à considérer que si D/(çi) n'est pas nul. Pour le calcul de l'intégrale (3), la valeur de Dy'(ç,), mesure de Tensemble des valeurs de t considérées, importe seule, et non la siluation de l'ensemble considéré dans l'intervalle (r/, b). Mais
3o PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.
pour le calcul d'une intégrale du type plus général
I \{t)x{t)dt,
o(t) étant une autre fonction mesurable, il importe évidemment de connaître les valeurs de o(^)pour les points de l'ensemble considéré, et pour cela de connaître la situation de cet ensemble dans l'intervalle (a, b).
Nous conviendrons de considérer une fonction mesurable ^{t) comme connue si l'on a les éléments voulus pour calculer l'intégrale précédente, quelle que soit la fonction également mesurable o(/). On voit aisément qu'il faut et il suffit, pour cela, que la fonction sommatoire soit connue, non seulement pour l'intervalle (a, b)^ mais pour n'importe quel intervalle tel que (a, c), c variant de a à 6, et par suite pour tout intervalle intérieur à l'intervalle (a, b).
21. L'intégrale définie généralisée d'après M. Lebesgue possède la plupart des propriétés de l'intégrale ordinaire. Les formules d'addition
dt,
' x{t)dtz= l x{t)dt-^ l x{t)
i [a;(t)-^y{t)]dt= x{t)dt-^ j y{t)dt,
la formiile
(6) / x{t)dt\< / 1^(01^^,
I «^rt ~ 1 *J a
la formule de la moyenne
(7) f x{t)y{t)dt = \. f y{t)dt [y{t)>o, m<X<^\] et l'inégalité de Schwarz
(8) \j x{t)y{t)dt\ ^J x^{t)dt f y^(t)dt
restent exactes et se démontrent aisément. Par contre, la formule
-j- / x{t)dt z=x(x)
CHAP. III. — FONCTIONS SOMMABLKS KT FONCTIONS A VARIATION BORNEE. 3l
])eut être en défaut, puisqu'on peut changer la valeur de x{t) pour les points d'un ensemble de mesure nulle, et en particulier au point ^ = 7, sans changer le premier memijre; mais elle ne peut être en défaut que pour les points d'un ensemble de mesure nulle. ..
22. Les fonctions sommables. — Considérons uiaintenant une fonction mesurable j^ouvant devenir infinie, mais seulement pour les points d'un ensemble de mesure nulle, de sorte que la fonction /(ç) tend vers o si ^ croît indéfiniment par valeur négative, et vers L si ç croît indéfiniment par valeurs positives. ïl peut arriver que les intégrales
qui augmentent avec M, aient des limites finies lorsque M croît. L'expression
(lo) f Ç</(0
a alors un sens bien défini. Si d'ailleurs .x(t) est finie, elle se réduit à l'intégrale (2), et si, sans rester finie, x{t) est telle que l'intéorale
ait une valeur finie, on démontre aisément que l'intégrale (g) est égale à ***'
(3) f oo{t)
cit.
Dans les cas de fonctions où l'intégrale au sens ordinaire n'existe pas, et par généralisation de la définition donnée n*^ 20, nous prendrons avec M. Lebesgue la formule (10) comme définition de l'intégrale de x{t) dans l'intervalle (a^ b).
La fonction 3c(t) est dite soinmable lorsque cette dé(inition s'applique. Une fonction sommable est donc une fonction mesurable pour laquelle les expressions (9) ont une limite pour M infini.
On peut songer à généraliser encore cette définition en considérant
l'expression (lo) comme ayant un sens lorsque
a une limite pour M infini. Cela serait sans grand intérêt, car il pourrait arriver, si les expressions (g) n'ont pas toutes deux une limite, que la limite de (i i) et l'intégrale (3) aient toutes deux un sens mais ne soient pas égales.
23. Les fonctions de carrés sommables. — Si l'on applique la méthode d'intégration de M. Lebesgue au carré de la fonction ^(/). on est conduit à former Fii^téûrale
(t)dt.
Si cette intégrale a un sens, la fonction :r(^) est de carré sommable. La comparaison de cette intégrale avec l'intégrale (lo) montre qu'une fonction de carré sommable est elle-même sommable, mais qu'une fonction sommable n'est j)as nécessairement de carré sommable. La notion de fonction de carré sommable est donc plus restrictive que la précédente.
Si les fonctions x {t) et y{t) sont de carrés sommables, leur distance, définie par la formule
f [y(t) — x(t)\^dt= f x'^{t)dt-^ j y'-{t)dt—oC x{t)y{t)
dt
a un sens. l^OLir le démontrer, il suffit de vérifier que le dernier terme de l'expression développée de r- a un sens. Si nous appelons ^X'mIO et J^m(0 ^^^ fonctions respectivement égales i\ x{t) et y{t) lorsque celles-ci sont comprises entre — M et.-|-M, et, dans le cas contraire, à dz M, suivant le signe de xi^t) etj'(^), nous pouvons écrire
r I^M(07M(0Kn k f ocl{t)dt Ç yy,t)dt..
Lorsque M augmente indéfiniment, le premier membre de cette inégalité croît constamment, en restant inférieur au second qui a une limite. Il a donc une limite, et l'inégalité de Schwaj'z reste vraie à la
