CHAPITRE III

FONXTIONS SOMMABLES ET FONCTIOxNS A VARIATION BORNÉE.

Sommaire. — IMesure d'un ensemble de |)<)ints. — Fonctions mesurables. — Intégration des fonctions mesurables bornées. — Les fonctions sommables. — Les fonctions de carrés sommables et leur représentation par des séries trigonométriques. — Les fonctions à variation bornée. — L'intégrale de Stieltjes. — Les fonctionnelles additives a variation bornée. — L'intégrale double de Stieltjes.

Le présent Chapitre contient un résumé de travaux connus de M\^I. Jordan, Borel et Lebesgue sur la théorie des fonctions. Pour être accessible à un aussi grand nc^nibre que possibb- de h'cteurs, nous avons pensé qu'il valait mieux ne pas les supposer connus. Mais, pour les résumer en un seul Chapitre, nous avons dû supprimer certaines démonstrations et en indiquer d'autres très brièvement. Le lecteur désirant plus de détails les trouvera dans les Leçons sur l'intégration^ de M. Lebesgue.

46. Mesure d'un ensemble de points. — Considérons d'abord un ensemble de points d'une droite. S'il est constitué par tous les points d'un intervalle, on peut le mesurer par la longueur de cet intervalle. S'il est constitué par la réunion d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d'intervalles sans points comniuns deux à deux, on peut le mesurer par la somme des longueurs de ces intervalles, somme nécessairement finie si tous ces intervalles sont campris dans une portion finie de droite.

M. Jordan a le premier étendu la notion de mesure à des ensembles plus généraux. Il considère un ensemble E comme ayant une mesure l si, quelque petit que soit s, on peut comprendre tous ses points dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles de mesure totale inférieure à /-[-£, et si, d'autre part, on peut former un nombre fini d'intcr\ ailes de mesure totale supérieure à l -— z ne

comprenant que des points de E. On dit actuellement qu'un pareil ensemble est mesurable J.

Il résulte immédiatement de cette définition que tout ensemble dénombrable, en particulier l'ensemble des nombres rationnels compris entre o et i, a une mesure nulle. Par suite, l'ensemble des nombres irrationnels compris entre o et i, qui comprend dans cet intervalle tous les points n'appartenant pas au précédent, doit être considéré comme ayant une mesure égale à i . Or il n'est pas mesurable J puisqu'on ne peut trouver aucun intervalle qui lui appartienne entièrement. On voit donc que la notion de mesure s'étend facilement à d'autres ensembles que les ensembles mesural)les J.

M. Borel a considéré des ensembles plus généraux, qu'on appelle ensembles mesurables B. D'après lui, un ensemble E, intérieur à un intervalle ab de longueur L, a une mesure / si, quelque petit que soit £, on peut comprendre tous ses points dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles de mesure totale inférieure à /-[-£, et son complémentaire dans ab (ensemble composé des points de ab n'appartenant pas à E) dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles de mesure totale inférieure à L — l-\-t. Si l'ensemble E n'est pas intérieur à un intervalle fini, on obtient sa mesure comme limite de la mesure de l'ensemble comprenant les points communs à E et à un intervalle qui augmente jusqu'à constituer toute la droite.

L'exemple de l'ensemble des nombres irrationnels compris entre o et I montre que cette notion est plus générale que la précédente. M. Borel a montré qu'on peut, sans sortir des ensembles mesurables B, efTectuer sur des ensembles mesurables B les deux opérations suivantes :

i" Faire la somme d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d'ensembles ;

2" Prendre la partie commune à un nombre fini ou à une infinité dénombrable d'ensembles (').

Indiquons encore que, si un ensemble E est mesurable B, et si l'on

(') Pour plus de détails sur ces questions, et en particulier pour la déinonslration du résultat de M. Borel, voir II. Lebesgue, Leçons sur Vintégration, p. 36-45 et