CHAP. III. — FONCTIONS SOMMAHLES ET FONCTIONS A VARIATION BORNÉE

limite. Il en résulte l)ien que le dernier terme de l'expression développée de /■- a un sens.

La définition normale de la distance s'applique donc dans tout le champ des fonctions de carrés sommables, et la distance de deux fonctions quelconques de ce champ est finie.

24. Les fonctions de carrés sommables et leurs représentations par des séries trigonométriques. — La notion de fonction de carré sommablc pou\anl ne pas paraître très simple, nous allons montrer qu'on peut approcher autant qu'on veut d'une telle fonction par des fonctions plus simples.

La définition considérée de la distance vérifiant cette condition que la distance de deux fonctions est toujours au plus égale à la somme de leurs distances à une troisième, nous pouvons effectuer successivement en partant de x{t) plusieurs approximations nous conduisant à former successivement des fonctions X| (/), . . ., X^(^); si les distances de deux approximations consécutives sont inférieures respectivement as,, . . . , £^;, la distance de x{t) et ^p{f) est inférieure à

i" Comme première approximation, prenons pour X, (/) une des fonctions ^m(0 définie n'* 23. On voit aisément que

peut être rendue inférieure à tout nombre donné e'~^ si M est assez grand. On approche ainsi autant qu'on veut de x{t) par une fonction mesurable bornée X, (t).

'2^ M étant la limite supérieure de |X,(^)|, divisons l'intervalle ( — M, -f- M) en intervalles inférieurs à £25 et remplaçons les valeurs de X, (t) intérieures à chaque intervalle par une valeur déterminée choisie dans chaque intervalle. Nous obtenons ainsi une fonction X2(^) n'ayant qu'un nombre fini N de valeurs distinctes ç,, .,., Hpj, et approchant de X, (^) de moins de £0.

3" L'ensemble des points de l'intervalle (o, i), où X2(/) prend

i4 PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

chacune des valeurs ^/, est mesurable. Nous pouvons donc rapprocher par une somme d'un nombre fini d'inlervalles de manière que les points appartenant à cet intervalle sans appartenir à l'ensemble ou inversement constituent un ensemble de mesure intérieure à ^rrA^* L'ensemble de tous les intervalles ainsi formés en considérant successivement chaque valeur Hi , . . . ^ Çy ne reconstitue pas nécessairement rintervalle (o, i), mais les intervalles non comptés ou comptés plusieurs fois ont une longueur totale inférieure à vr^- La fonclionX;,(^), égale à o dans ces intervalles, et égale dans chacun des autres à la valeur ^/ à partir de laquelle cet intervalle a été obtenu, est à une distance à X2(^) inférieure à £3. C'est une fonction obtenue en divisant rintervalle de variation de t en un nombre fini IN' d'intervalles partiels et en choisissant une valeur constante dans chaque intervalle.

4** En chaque point de discontinuité de X3(^), on peut rétal)lir la continuité et celle des dérivées jusqu'à tout ordre donné /; en ne; modifiant les valeurs de la fonction que sur un petit intervalle de longueur j^j/L,? et en la modifiant en chaque point d'une quantité ^ M. La fonction X/, (^) ainsi obtenue est à une distance de X3 (t) inférieure à £,,.

5** Si /?^2, la fonction X/, (^) est sûrement représentable par une série trigonométrique uniformément convergente. On peut la limiter à un nombre fini de termes et obtenir ainsi une série limitée

X5(if) = — H- Al cos27:^ -4- Bi sin27t^ 4-. . .-I- A,j cos9.7nzt -+- B„ s\n2nrU

dont la distance à X, (/) est inférieure à £5, et dont par suite la distance à x(t) est inférieure à

quantité aussi petite que l'on veut Or, de toutes les séries de la même forme que Xg(^),* celle dont la distance à ^{t) est minimum est la fonction

(12) cp„(/) = — -hrt, cos2TT^ -]- bi s\n m t -+-... -+- cincosint -t- b,i sin inrU^ formée avec les coefficients de Fourier

ai— 1 I cv{i) cos'iÏTzt dt^ bi='2 1 .r(/)sin «^0 «^0

lirA dt (i = o, i, ..., n).

CIUP. m. — FONCTIONS SO.MMABLES ET FONCTIONS A VARIATION BOUNHi:. 35

La fonction '■^^{t) est donc distante de ./(/) de moins de s et converge en moyenne vers cette fonction quand /? devient infini. On peut alors dire que J7(^) est « représentable » par une série trigonomélrique, bien que cette série ne soit pas nécessairement convergente pour toutes les valeurs de t. En écrivant que la distance de x(t) etdecp,j(/ ) tend vers o, on obtient la formule

(rj) ■>. xi{t)clt = -^ -\- a\ + b\ -{-... -^ al -^ bl-^. ..,

la série qui ligure au second membre étant nécessairement conver-

2o. Le résultat que nous venons d\^btenir admet uns réciproque. Considérons une série trigonométrique formée avec des coefficients a,,, ha tels que

(i4) af + ^f +. . .+ «2 + ^>2 -+-...

soit convergente. Je dis qu'il lui correspond une fonction de carré sommalde xi^t) bien déterminée.

Cela signifie, non que la série considérée soit convergente, ni que nous sachions calculer effectivement x{^t\ mais, d'après le n" i21, que l'on sait calculer la fonction sommatoire/(H) et aussi la fonction analogue relative à n'importe quel ensemble mesurable E composé de points de l'intervalle (o, \). Soit g'QC) cette fonction pour un ensemble E déterminé. Soit gn{^\) la fonction analogue obtenue en remplaçant :r(^) par

9/i(0 = \- a^ C0S2 7r^ 4- 61 siiiî::^ -+- . . .-h a,^ cos 2 ~7it -\- b,isin 2Tznt.

11 s'agit de démontrer que g'u{i) tend (sauf peut-être en certains points constituant un ensemble de mesure nulle) vers une fonction déterminée g{q). D'une manière précise.^ nous allons montrer que la courbe représentant la fonction non décroissante gjid) (la courbe étant rendue continue aux points de discontinuité par un trait vertical) a une limite.

S'il n'en élalt pas ainsi, il existerait un nombre £ tel que, si grand que soit A, on pourrait trouver n et ?i' supérieurs à N tels qu'un petit carré de côtés parallèles aux axes de coordonnées et de longueur s

puisse cLre compris entre les courbes représentant g'n{i) et gn'i^)- H en résulterait évidemment cpie les fonctions gn{^) et ^«'(H) différeraient d'au moins s pour les points d'un ensemble de mesure s. Le carré de leur distance serait alors supérieur à £-, ce qui n'est pas possible, puisqu'il a pour valeur (en supposant, par exemple, /i'>> 7i)

quantité qui tend vers o pour N très grand.

L'existence d'une fonction g'{k) déterminée pour cliaque ensemble E, par suite l'existence d'une fonction mesurable x{t) bien déterminée, sont ainsi établies.

Si l'on applique alors la méthode d'intégration de M» Lebcsgue à la détermination de l'intégrale

f xHj)dt= f ■ V'dfCç), i/o *y— 00

on trouve qu'elle est la limite, pour n infini, de

limite qui est finie par hypothèse. Donc la fonction x{t) e£t de carré s om niable.

Si enfin on applique à cette fonction les formules de Fourier,

A„ — / X ( t) cos ir.nt dt, »- 0

!/^ = / x(t)sin'2Tzntdt,

on constate par la même méthode que A,^ et 13^^ ne sont autres que cfn et b,i- l^a fonction de carré sommable x(t) admet donc bien comme coefficients de Fourier les nombres cin et />« donnés.

On voit qu'il y a identité entre la donnée d'une fonction de carré sommable et la donnée d'une suite de coefficients «„ et b,i dont les carrés constituent une série convergente.

Nous étendrons ces résultats au Chapitre VII à des séries de forme plus générale.

CIIAP, III. — FONCTIONS SOjniABLES ET FONCTIONS A VARIATION BORNEE. 87

26. Les fonctions à variation bornée. — Considérons une fonction x{t) bornée définie dans l'intervalle (o, i). Divisons cet intervalle en p intervalles partiels par les points de division t< , T2, • . . , ~p-.\ • Appelons T)ix l'accroissement de xi^t) dans rintervalle de rang i. Posons

(i5) ' T = lDi^l-4-|D2:r|+...-4-|D^,:rl,

et appelons T^^ la limite supérieure de T lorsque les points de division varient, leur nombre restant constant. Lorsque p augmente, T^ ne peut que croître ou rester constant; pour p infini, cette c]uantité ne peut donc que, ou devenir infinie, ou tendre en croissant vers une limite finie M. Dans ce dernier cas, on dit que la fonction x {t) est à variation bornée^ et M est sa variation totale dans l'intervalle (o, i).

On peut distinguer les T^ix qui sont positifs et ceux qui sont négatifs. Soient c7 la somme des premiers et — cr' celle des seconds. On a

évidemment

Lorsque T tend vers M, 1 et 1' ont deux limites m et /?i' telles cjue

(16) ^(0 — 37(0) = m — in\ M = m -4- m'.

Si, au lieu de l'intervalle (o, i), nous considérons l'intervalle (o, ^), / étant variable entre p et i, on peut cléfini-r les cjuantités F(^), o(^), t!;(^) analogues à M, m et m', et qui, lorsque t croît, ne peuvent pas décroître. Les formules (iG) deviennent

(17) x{t) — x{o)^^^{t) — ^hU), ¥{t) = ^^{t)^'\{t).

La première de ces formules nous montre que toute fonction à variation bornée est une différence de deux fonctions non décroissantes. Il j a d'ailleurs une infinité de manières de représenter ^(^) par une différence de telles fonctions ^(^) et ^F(/); de toutes ces manières, celle que nous venons de définir est celle qui rend minimum la

somme

Cela résulte de ce que la variation totale de ^(^ — ^^'(0 ^^"^ M'w^tervalle (o^ t)^ au plus égale à cette somme si ^l^(t) et ^F(^) sont des fonctions non décroissantes, lui est précisément égale lorsque ces

fonctions sont formées en partant de x{t) comme nons venons de l'indiquer.

27 Considérons la fonction » (0, qui est une fonction non décroissante, c'est-à-dire telle que T >> ^ entraine

et croissant de o à m quand / croît de o à i . Nous allons la décomposer en une somme de plusieurs fonctions plus simples.

Cette décomposition peut être rendue intuitive si l'on considère des masses positives pesantes réparties sur l'axe des / et qu'on suppose que '-D {t) soit la somme des masses'situées sur l'intervalle (o, t).

i" 11 peut arriver qu'en un point t soit située une masse finie a. Appelons o ^ [t) la somme des masses de cette nature situées sur l'inter\alle (o, t). En chaque point 8 où est située une masse a, la fonction o, (/) a ce qu'on appelle une discontinuité de première espèce^ c'est à-dire qu'elle a une limite lorsque t tend vers 9 par valeurs inférieures à G et qu'elle en a une autre, supérieure de a à la précédente, lorsque t tend \ers 9 par valeurs supérieures à 9.

La fonction non décroissante cp (^) ne peut d'ailleurs a\oir que des discontinuités de cette nature, et comme à cliaque point de discontinuité est attachée une partie finie a de l'accroissement total m de 'ù (/), ces points constituent au plus une infinité dénombrable, et la somme de toutes les quantités a est finie. Si l'on a bien tenu compte de tous ces points dans la définition de ^p (0: 1^ différence 'f (^) — ^i (0 est une fonction continue non décroissante.

2^ 11 peut arriver que des masses soient réparties sur l'axe des t avec une densité posill^e a (/) ; il en résulte, sur l'inter\alle (o, ^) une masse

qui est une nouvelle partie de la masse totale cp(^) située sur cet intervalle. La fonction p^ (^) peut d'ailleurs être une fonction sommable positive quelconque.

3° On peut concevoir une répartition des masses telle que toute hi masse soit située aux points d'un ensemble de mesure nulle, et que cependant en aucun point ne soit située une masse finie ; une telle