CHAP. III. — FONCTIONS SOMMABLKS ET FONCTIONS A VARIATION BORNKK

rcpaiiitioii ne sera évidemment pas réductible aux deux précédentes.

Donnons-en un exemple, du à M. Lebes«;ue.

Soit à répartir une masse i sur l'intervalle (o, i ). Di\isons cet inter- \ aile en trois intervalles é^aux ; celui du milieu ne contiendra aucune masse et la masse sera répartie également entre les deux autres. Divisons maintenant chacun de ces deux interN ailes en trois inter\ ailes égaux sur lesquels nous opérerons de même, et ainsi de suite. Après p opérations, nous obtiendrons des intervalles égaux à — ; 2P d'entre

eux contiendront chacun une masse — , et les autres ne contiendront

aucune masse. Lorscpie p de\ieiit infini, la somme des intervalles

/ '-i \ ^' contenant des masses a une longueur ( - j qui tend vers o ; à aucun

point ne reste attachée une masse finie, et l'on obtient à la limite une répartition l)ien déterminée en ce sens que, pour chaque point ?, la fonction égale à la somme des masses situées sur l'intervalle (o, t)

a une valeur bien déterminée, qu'on peut calculer à — ; prés si l'on connaît ^ à — près.

Nous pouvons donc concevoir des masses réparties avec une densité infinie dans un ensemble de mesure nulle, sans qu'aucun point contienne de masse finie. Soit cpa (l) la partie de o (t) correspondant à une telle répartition.

28. Les fonctions cp, ( ^), cpo(^) et cp3(^) sont évidemment irréductibles les unes aux autres, de sorte que la fonction

(19) ç(^^)^CÇ,(0 + Cp2(0-t-Cp3(0

représente une fonction non décroissante plus générale qu'aucun des trois termes. Nous allons montrerque toute fonction non décroissante peut élre mise d'une manière unique sous la forme (19), et indiquer le moyen de former les trois termes.

Nous avons déjà indiqué que la connaissance de '^i(t) résulte de celle des discontinuités de '-^{f) et que, par soustraction de la fonclion cpi(/) obtenue, on est ramené au cas d'une fonction cp(^) continue. Plaçons-nous donc dans ce cas.

La fonction o^(t)^ par définition, ne variant que pour les points d'un eus('m])le de mesure nulle, si '^(t) est de la forme C3o(0 -H'^3(/)5

cp(^) a en dehors des points de cet ensemble même dérivée que 'fo(/), soit [J-(^), sauf pour les points d'un autre ensemble de mesure nulle, et ç)2(0 peut être obtenu par intégration de cette dérivée. La fonction (s^(t) en résulte, par dilïerence.

Mais il n'est pas évident cp'une fonclion 'f (/), continue et non décroissante, dont on ne sait pas à l'avance si elle est de la forme ^2(^) -H 'f 3 (0' admette une dérivée [J^(^) définie presque partout (c'est-à-dire sauf pour les points d'un ensemble de mesure nulle). On peut éviter cette objection en passant par l'intermédiaire des fonctions sommatoires.

Considérons la fonction continue

(20) o,{t)-xt= f [^('-:)-i]d',

et décomposons-la, d'après le procédé indiqué n" 26, en une différence de deux fonctions '-fi{t) et '^i{t) continues et non décroissantes. La fonction ç)x(05 dont la connaissance résulte ainsi de celle de cû (^), est évidemment égale à l'intégrale de [J^(':) — X, dans l'ensemble des points situés entre o et ^ et où cette fonction est positive, c'est-à-dire que, si ft{i) désigne toujours la fonction sommatoire de i^-it) dans l'intervalle (o, /),

d'où l'on tire

formule qui définit /^(A), dont la connaissance équivaut à celle de ;jl(^).

Si l'on applique ces formules en partant, non de ^^(O' i^^^is d'une fonction C5(^), continue et non décroissante, à cela près cjuelconque, on vérifie sans peine qu'elles ont toujours un sens, la fonction 'fi{f) ayant en tous les points, sinon une dérivée, du moins une dérivée à droite et une dérivée à gauche. On arrive donc à une fonction iJ-{t) déterminée, dont l'intégration donne une fonction <z)2{t).

Si l'on recommence les calculs en partant de cette fonction 0.2(1)', on doit évidemment retrouver les mêmes fonctions ft{^) et p(/). C'est donc que les deux déterminations trouvées pour ^;.{t) [en par-

CMAP. III. — FONCTIONS SOMMAIJLES ET FONCTIONS A VARIATION BORNÉE. 4l

tant de o(/) ou de 'f2(^)J ont une dilTérence indépendante de A, par suite égale à 'f ( ^) — 'f 2 ( 0 ^= 'f :« ( 0 •

En langage moins précis, le procédé employé pour trouver [f-it) en partant de cp(0 [ou Ooi^)] est le suivant : pour savoir dans quel ensemble u(^) est compris entre o et )., on cherche dans quel ensemble o(t). [ou 93 (^)] croit moins vite que A^, c'est-à-dire dans quel ensemble o{t) — Xt est décroissant. On trouve le même résultat en partant de 'f{t) ou de cp2( 0* ^^ donc (03 (t) n^est pas nul, c'està-dire si 'f(^) croit plus vite que ^2(^)7 dans un ensemble où il en serait partout ainsi, on peut affirmer," en faisant croître X de o à 00, que o(t) — 7u et ^3(0 — Xt ne peuvent cesser d'être croissants, ni séparément, ni simultanément (cardans la partie de l'ensemble où ils cesseraient d'être croissants pour la valeur considérée de A, ils seraient tous les deux croissants de la même quantité que A^). Donc, dans l'ensemble considéré, 'f(^) croît plus vite que X^, quel que soit X. C'est un ensemble de mesure nulle où o(t) croît avec une vitesse infinie. En dehors de cet ensemble, '^ (t) croît comme 02(/). La différence o(t) — 'f 2(^)1 q"i est continue, et croissante seulement pour les points d'un ensemble de mesure nulle, est bien du type désigné par '^s{t).

La possi])ilité de représenter cp(/) par la formule (19) est donc démontrée. Le même résultat s'appliquant à la partie décroissante, ou non croissante, oc{t)^ et par suite à x[t)^ on a pour cette fonction une décomposition de la forme

x{t) — x{o) — cri(f) -i- x^it) -{- x-^(t).

Le premier terme correspond à une infinité dénombrable de masses, positives ou négatives, dont les valeurs absolues ont une somme finie; il est discontinu aux points où sont situées ces masses et constant ailleurs. Le dernier terme jouit également de la propriété de ne varier que pour les points d'un ensemljle de mesure nulle, mais est continu. Le terme ^2 (^) est continu et jouit de la propriété de pouvoir être obtenu par l'intégration d'une fonction sommable, qui peut être définie presque partout (ce qui est suffisant), comme étant sa dérivée, ou celle de oc{t); une telle fonction est dite absolument continue.

29. L'intégrale de Stieltjes. — Soit x {t) une fonction à variation bornée définie dans l'intervalle (o, i) ; soit z{t) une fonction continue

définie dans le même intervalle. Divisons eel intervalle en p par des points de division ^,, . . ., tp^. Appelons D/jc Faecroissement de x dans l'intervalle de rang i et zt une valeur de t dans cet intervalle. La somme

tend, lorsqu'on augmente indéfiniment le nombre des intervalles de manière que le plus grand d'entre eux tende vers o, vers une limite bien déterminée, indépendante du choix des ti et des t/, que l'on appelle V intégrale de Stieltjes et (pi'on représente par la notation

/ z{t)clx{t).

Nous avons déjà utilisé cette notation, dans le cas où z-(t) ■= t et où oc[t) est une fonction croissante, pour exposer la méthode d'intégration de M. Lebesgue.

Cette intégrale est le numérateur de -l'expression qui définit la moyenne de la fonction ^(^), si l'on donne aux difTérentes valeurs de z{l) des poids proportionnels aux masses liées à la fonction x {t).

La décomposition de x[t) — ^'(o) en trois termes donne immédiatement pour l'intégrale de Stieltjes l'expression

(•-u) l.az(0)-\~l UL{/)z{f)dt-h- I z{U)dx-i{t),

les a et la fonction \J-( t) étant définis comme nous l'avons vu n° ^11 ^ mais étant ici de signes quelconcjues. Le premier terme ne dépend que des valeurs de la fonction z{t) pour les points de discontinuité de la fonction x{t)^ le troisième ne dépend que des \aleurs de z{t.) poui* les points (fun ensemble de mesure nulle et n'est pas représentable par une expression plus simple (.\ne fintégi^ale de Stieltjes ; le deuxième dépend au contraire des valeurs de z-{t) dans tout ensend^le de mesure poslllxe où 'J.(/) n'est pas nul.

30. Les fonctionnelles additives à variation bornée. — La notion ' de mesure des ensembles et la méthode d'Intégration de M. Lebesgue s'étendent sans peine aux espaces à plusieurs dimensions. Pour l'extension de la notion de fonction à variation bornée, il faut faire intervenir des notions se rattacbanl au calcul (onctlonnel.

ClIAP. m. — FONCTIONS SOM.MAHLI S ET FONCTIONS A VARIATION BORNEE. 4^

Soient E un ensemble de points de l'espace à n dimensions, et fI>(E) une fonctionnelle de E, c'est-à-dire une quantité ayant une valeur bien déterminée lorsque E est donné (du moins si cet ensemble vérifie certaines conditions). On dit que <I)(E) est wnc fo ne lionnelle additi\-€ si, lorsqu'un ensemble E est constitué par la réunion de deux ensembles E, et E^ sans point commun el que <!> est définie pour ces ensembles, on a

Décomposons E en ensembles élémentaires DE, deux à deux, sans points communs, et pour chacun desquels t}) ait une valeur déterminée D<ï>. On a

'osons

et appelons T^, la limite supérieure de T lorsque p est le nombre des ensembles DE. Lorsque /^augmente, T^ ne peut que croître ou rester constant; pour p inlini, cette quantité ne peut donc que devenir infinie ou tendre en croissant \ ers une limite finie M. Dans ce dernier cas nous dirons que la fonctionnelle <\} est à variation bornée dans l'ensemble E, et que M est sa variation totale dans cet ensemble.

31. Nous nous placerons maintenant dans le plan, ce qui suffît |)oui' mettre en évidence les propriétés principales des fonctionnelles addilives à variation bornée, et nous supposerons que les ensembles considérés soient constitués par des aires. Pour décomposer sans andjiguïté une aire S en aires élémentaires DS, il faut naturellement préciser pour les contours communs à deux de ces aires ou pour les points communs à trois d'entre elles à laquelle ils appartiennent.

Gomme novis l'avons fait pour l'étude des fonctions à variation bornée d'une variable, nous pouvons lier à la fonctionnelle 4> un système de masses réparties dans une région du plan. La valeur <I>| [S]| de ^ dans une aire S sera la somme des masses situées sur cette aire. La \ariation totale de ^ dans l'aire S sera la somme des valeurs absolues de ces juasses.

Le principal cliangement, en passant de la droite au plan, provient de ce (pie des masses pouvant êti'c concentrées en des points, sur des

lignes, ou réparties dans des aires, il y a un plus grand nombre de termes à distinguer :

1° Un premier terme ^1 est obtenu en tenant compte des masses finies pouvant être situées en certains points.

2^ Ljn deuxième terme <ï>2 est obtenu en tenant compte des masses réparties sur des courbes et représentables par une intégrale de M. Lebesgue étendue à ces courbes.

'3*^ Un troisième terme O3 est obtenu en tenant compte des masses réparties sur des courbes et situées sur des ensembles de mesure linéaire nulle, sans qu'il j ait de masse finie en aucun point.

l\^ Un quatrième terme ^î/, s'exprime par l'intégrale de M. Lebesgue, dans l'aire S, d'une fonction sommable u(A) du point A. Par généralisation des raisonnements du n^ 28, on voit que la fonction sommatoire /*s().) de [J>.(A) dans l'aire S, égale par définition à la mesure superficielle de l'ensemble des points de l'aire S où [J^(A) est inférieure à )v, et définie par la formule

/s(>0 = ^?),|[SJ|,

cs)] [S] I désignant la somme des masses positives intérieures à S dans la répartition des masses liées à la fonctionnelle ^I^ | [S] | — A^, rS étant la mesure de l'aire S.

5*^ Un dernier terme ^3 proviendra de masses situées dans un ensemble de mesure superficielle nulle, sans qu'il y ait de masses finies sur une courbe. Nous donnerons tout à l'heure des exemples de telles répartitions.

3t2. Dans le cas général, une fonctionnelle additive peut s'exprimer à l'aide d'une fonction de deux variables. Appelons 5- et / les coordonnées d'un point de la région où la fonctionnelle <î> est déiinie, et 0(0-, t) la valeur de <î> pour l'aire composée des points de cette région pour lesquels

5 < cr, i < X.

La connaissance de o(a-.T) équivaut à celle de 0. En edet, cette fonction étant connue, la valeur de <I> pour le carré

est

d,yd^'f{a, t) = cp(a -\- ch, - -h dz) -1- cp(j, z) — ç(a + d(!, t) — 9(7, -, -h dz)

CIIAP. m. — FONCTIONS SOMMABLKS Et FONCTIONS A VARIATION BORNEE. 45

et, pour une aire S quelconque, on a

l'application de cette formule nécessitant certaines précautions dans le cas où des masses finies sont situées sur le contour de S. On peut appeler cette fonction cp(a-, t), dont la connaissance équivaut à celle de <I>, fonction à variation bornée des deux variables a- et t.

A un point A où est située une masse finie a correspond évidemment pour la fonction co une discontinuité égale à a sur les deux demi-droites parallèles aux axes partant de A et dirigées respectivement dans le sens des s croissants et dans le sens des t croissants.

Lue parallèle à l'un des axes sur laquelle sont réparties des masses finies est également une ligne de discontinuité pour la fonction c. Mais si de telles masses sont réparties sur une ligne C non parallèle aux axes, on voit aisément que co n'est pas discontinue sur cette ligne^ mais que seulement sa dérivée première (si elle existe) est discontinue. Si Ton se donnait une fonction cp discontinue sur cette ligne, la fonctionnelle additive qu'on en déduirait par la formule (22) ne serait pas à variati^)n bornée.

On se rend compte que, si l'introduction de la fonction 0(0-, t) est commode pour définir la fonctionnelle <ï>, il eùl été difficile de remplacer les considérations précédentes par des considérations ne faisant intervenir que la fonction o et n'utilisant pas la notion de fonctionnelle. Les droites parallèles aux axes auraient du jouer un rôle particuliei" et qui aurait paru artificiel.

33. Donnons maintenant des exemples de répartitions de masses correspondant au cinquième des termes que nous av(ms distingués dans ^. Il suffît de prendre pour o l'une des valeurs

^{s, t)=x,(s)y,(t) ou

'^{s,t) = x,{s)fU),

f étant une fonction continue et ^3 et j'3 étant des fonctions analogues aux fonctions o^ et ^3 du n^ 28. Dans les deux cas, on est conduit à des masses réparties dans un ensemble de mesure superlicielle nulle; dans le premier cas, il a en outre une mesure linéaire

nulle en projection sur les deux axes, tandis que, dans le second, il n'en est ainsi qu'en projection sur l'axe des s.

Considérons encore la répartition de masses positives définie de la manière suivante, à l'intérieur d'un carré. Divisant ce carré en neuf carrés égaux, nous répartirons le quart de la masse totale dans chacun des carrés ayant un côté commun avec le carré central; nous opérerons dans chacun de ces carrés comme dans le carré primitif, et ainsi de suite. On voit sans peine que les masses seront en tin de compte réparties dans un ensemble dont les projections sur les diagonales du carré primitif ont des mesures linéaires nulles, tandis que la projection sur les côtés de ce carré comprend au contraire tous les points de ces côtés.

On voit par cet exemple que le fait, pour un ensemble, d'avoir une mesure linéaire nulle ou non en projection sur une droite peut dépendre du choix de cette droite.

34. L'intégrale double de Stieltjes. — Soient <I> une fonctionnelle additive à variation Ijornée et '^(A) une fonction continue du point A. Divisons l'aire S en éléments d'aire DS et, dans chacun d'eux, choisissons un point A. La somme

D<ï> étant la valeur de <ï> pour chaque élément d'aire, tend, lorsque le nombre des aires élémentaires devient infini de manière que la plus grande distance de deux points d'un même élément tende vers o, vers une limite bien déterminée, indépendante du mode de décomposition choisi et du choix du point A; cette limite est l'intégrale double de Stieltjes et se représente par l'une des notations

(23) J P'h{X)d^\[S]\=Jf'^(A)d,d,o(X),

s et t étant les coordonnées de A et C2(A) étant la fonction associée à ^ par le procédé du n" 32.

Si l'on décompose ^ en cinq termes <1>,, .... <ï>5, comme nous Tavons fait n^31, les trois premiers termes donneront des expressions de même forme que ceux que nous avons formés à propos de l'intégrale simple de Stieltjes ; le quatrième donnera une intégrale de