CHAP. III, — FONCTIONS SOM.MABLES ET FONCTIONS A VARIATION BORNEE

(A)ds.

M. Lebesgiie de la forme

fj'h{k)^.i

Le dernier terme

sera irréductible à l'une des formes précédentes. On peut, comme toute intégrale double, le ramener à deux quadratures successives. La première consistera, en principe, dans le calcul d'une intégrale de Stieltjes, et la deuxième sera de la forme

dcr(s),

x(s) étant la valeur de l'intégrale analogue à (i4) limitée aux points de S d'abscisse inférieure à s. Cette fonction est une fonction continue à variation bornée, qui, avec les notations du n° 28, est donc de la forme x 2 (s) -\- 003(5). Cette séparation en deux termes correspond à une séparation des masses liées à la. fonctionnelle <^ï>5 en deux parties, les unes étant situées dans un ensemble de points dont la projection sur l'axe des s a une mesure linéaire nulle, les autres étant telles qu'aucune partie finie de ces masses ne soit dans un tel ensemble. Ce dernier terme, celui qui correspond à X2{s)^ conduit donc à une quadrature de Stieltjes suivie d'une quadrature de M. Lebesgue; l'autre conduit à deux quadratures de Stieltjes successives; mais il peut arriver, en ce qui le concerne, qu'un changement de variables le ramène à la forme du précédent, ou conduise à une nouvelle décomposition en deux termes.