CHAPITRE IV

VARIATION PREMIÈRE El' FONCTIONNELLE^ LINÉAIRES.

Sommaire. — Dérivée fonctionnelle.— Z/^/^om^ de vue logique : Définition précise fie la variation |yreniière. — La formnle de M. Haclamard. — La formule de M. Fi". Riesz. — Les fonctionnelles linéaires conliiuies dans le champ des fonctions de carrés sonimablcs. — Les fond ionnelles linéaires continne^ d'ordre/). — Les fonctionnelles dépendant d'une fonction de deux variables.

— Les fonctionnelles bilinéaires. — Les correspondances linéaires entre deux fonctions. — Le point de vue pratique : Forme normale de la Narialion d'une fonctionnelle. — Cas de la continuité d'oidre p. — Les correspondances linéaires entre deux fondions. — Généralisations diverses : Fonctionnelles dépendant des valeurs d'une fonction ./(/) pour des valeurs quelconques de /^. — F'ondionnciles dépendant d'une fonction de ;i variables.

— Fonctionnelles dépendant de plusieurs fonctions. — Fonctions d'une ligne gauche. — Fonctions d'une ligne plane et fonctions d'une surface. — Remarque sur le choix d'un type simple de fonctionnelles.

3o. Dérivée fonctionnelle.' — Nous avons déjà vu que la généralisation de l'expression de la dilïérenlielle totale d'une fonetion de n variables conduit à représenter la variation d'une fonctionnelle U par l'intégrale

(l) au =: r 0(t)ùX(t)dt.

Cette forme n'est pas générale. La fonctionnelle ^(t), t étant une valeur particulière de t^ admet pour variation ô:r(T), expression irréductible à la précédente. Le calcul des variations classique nous apprend que la fonctionnelle

<:iIAP. IV. — VARIATION PREMIÈRE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. 49

admet pour variation

forme irréductible à la précédente si y-7 ox ne s'annule pasanx deux limites.

Dans le cas où la formule (i) s'applique, nous dirons que la fonctionnelle U est dérivable au sens de M. Volterra. La fonction cp(^) sera dite dérivée fojictionnelle de U. Comme elle dépend en général, non seulement de ^, mais du choix de la fonction x{t)^ M. Volterra la représente par »

cp(x) = U'l[^(0, t]1.

11 nous arrivera d'écrire plus simplement \}'x(X)' La variable t ou t, lorsque l'on considère une fonctionnelle U de x{t)^ est un simple indice, analogue à celui qui indique la variable lorsque l'on considère une fonction u{x^^ . . ., Xn) de n variables; cette notation est donc analogue à la notation j/^ pour représenter la dérivée de u par rapport à Xi.

La formule (i) n'étant pas générale, une étude plus complète s'impose. Elle peut être faite à deux points de vue.

Le premier, que nous appellerons le point de vue logique^ consiste à supposer la fonctionnelle U définie dans un champ fonctionnel, et, en faisant des hypothèses aussi peu restrictives que possible sur cette fonctionnelle, chercher une expression analytique capable de représenter sa variation.

Le deuxième, que nous appellerons le point de vue pratique^ consiste à mettre en évidence les formes de variations qui ont des chances de se rencontrer dans les applications, et non seulement dans des exemples artificiellement formés.

Le second point de vue nous sera évidemment le plus utile pour le développement delà théorie. Le premier est d'une nature plus philosophique, et c'est une conséquence remarquable du développement, à notre époque, de l'esprit philosophique qui porte les savants à analyser les fondements de la Science, qu'il ait été considéré dès la naissance du calcul fonctionnel et plus rapidement que ne semblait le comporter le développement de cette science.

Nous allons nous placer successivement aux deux points de vue.

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5o PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.