LE POINT DE VUE LOGIQUE

36. Définition précise de la variation première. — Il faut avîint tout savoir ce que nous appelons la variation preiiàère d'une ionclionnelle. Les remarques présentées jusqu'ici manquent évidemmenl de la précision désirable.

Dans le cas d'une fonction de n variables, la différentielle totale en tin point A est définie par les deux propriétés suivantes :

i" Elle est une fonction linéaire de Faccroissement des ('oordonnées entre A et un point voisin B;

2*^ Elle diftère de raccroissement de la fonction entre A et B d'une quantité dont le quotient par la distance AB est infiniment petit avec cette distance ( ' ).

Passons au cas d'une fonctionnelle et cherchons à délinii" la variation par la généralisation de cette double propriété :

1^ La variation oU est une fonctionnelle' Unéaii'e de l accroissement ox{t).

Qu'entendrons-nous par fonctionnelle linéaire (sQus-entendi'e : et homogène)? M. Hadamard (-)dit que IJ est une fonctionnelle linéaire de .V si la relation

X(t) =AXi(l) -^- IXX2(/)

entre trois déterminations de x{t) entraîne entre les déterminations correspondantes de U la relation

U=XUi-hjaU2.

2"" La variation SU diffère de V accroissement de L d'une quantité dont le quotient par le module fonctionnel de V accroissement de X est infiniment petit avec ce module.

37. La notion de variation première apparaît ainsi, ce qui est naturel, comme liée à la définition de la distance, c'est-à-dire à celle

(') Voir M. FKi':fiHKT, Comptes, rendus, -2- in;ii-s 1911.

(-) Comptes rendus, février igo'j, cl Leçons sur le Calcul des variations, p. 288,

CHAP. IV. — VARIATION PREMIÈRE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. 5l

de coiitiiiuih'. (/est le point de vue qui a été- adopté par M. Fréchet. On peut en donner une définition indépendante de la définition de distance en définissant la variation de l par la formule

(.) 2U = ji;U|l.^X5xJ|^^.

Une définition analogue a été adoptée par exemple par R. Gâteaux dans l'élude des fonctions d'une infinité de variables indépendantes (^).

Y a-t-il identité entre les deux définitions ?

On voit sans peine qu'une variation au sens de M. Fréchet vérifie la formule (2) si la définition de la distance est telle que la distance des deux fonctions ^{t) et x{t) -\-\J\t) est proportionnelle à \. Cette condition est vérifiée par toutes les définitions que nous avons considérées, et il semble qu'une définition qui ne la vérifierait pas serait sans intérêt.

Mais la définition de Gâteaux est plus générale. L'expression (2) peut n'être pas une différentielle au sens de M. Fréchet.

i" D'une part, si elle est homogène et du premier degré en §^, elle peut n'être pas linéaire. Cette circonstance Se rencontre déjà dans la théorie des fonctions de deux variables; la fonction ^ arc tang admet à Torii^ine une différentielle au sens de Gâteaux, mais ce n'est })as une expression linéaire en dx et dy. *

2" D'autre part, il résulte de la définition (2) que

m désignant le module fonctionnel de ô.x, et ox étant de la forme \f\t)^ tend vers zéro quand \ tend vers zéro. f{t) restant fixe. Pour que ùVj soit une différentielle au sens de M. Fréchet, il faut qu'elle tende vers zéro quand m tend vers o quelle que soit la forme de ^x ; autrement dit, si 8.7: = X /*(/), qu'elle tende uniformément vers o quand X tend vers o^f(t) étant une fonction quelconque de module fonctionnel égal à i . Il peut ne pas en être ainsi, même si 8U est une fonctionnelle linéaire.

Donc la formule (2) est plus générale que la définition précédente.

(') Bulletin de la Société mathématique de France^ 1919-

Toutes les fois qu'il y a une variation au sens de M. Frécliet, elle s'applique; mais elle peut représenter une expression qui ne soit pas une variation au sens de M. Frécliet.

Dans la suite, lorsque nous dirons qu'une fonctionnelle admet une variation, sans ajouter « au sens de M. Fréchet ». nous entendrons par là que l'expression (2) existe et est linéaire en ox. Cette définition diffère donc de celle de Gâteaux parce que nous imposons à la variation la condition d'être linéaire, et de celle de M. Fréchet par la différence signalée au 2° ci-dessus.

38. Donnons un exemple de fonctionnelle n'admettant |)as une variation pour toutes les fonctions x{t).

Plaçons-nous dans le cliamp des fonctions continues et appelons distance de deux fonctions x ei y le nuiximum de |j'(^) — x(^t)\. l^renons comme fonctionnelle L le maximum de:r(/).

Si x[t) n'atteint son maximum que pour une valeur t de la variable t, cette fonctionnelle admet comme variation l'expression o^(t). Mais si x{t) atteint son maximum pour deux valeurs t et 1' de la variable t^ la valeur principale de l'accroissement de U est donnée par Zxi^) ou ^x{'z') suivant que l'une ou l'autre de ces quantités est la plus grande. Si, par exemple, ox est de la forme '/./(t), et siy(T) et /(t') ne sont pas égaux, la valeur à considérer, t ou t , changera avec le signe de X. Si donc on considère la famille de fonctions ^(<) -1- A/(/) dépendant du paramètre A, U sera ru^présenlée en fonction de 1 par une courbe ayant un point anguleux.

De pareils exemples, ou même ceux qu'on pourrait donner généralisant les fonctions sans dérivées, ne diminuent d'ailleurs en rien l'intérêt cpii s'attaclie à la notion de variation.

39. Démontrons maintenant deux propriétés des fonctionnelles linéaires.

i*' Si une fonctionnelle linéaire V est continue en un point de l'espace fonctionnel, elle est continue partout.

En effet, dire qu'elle est continue en un point x{t)^ cela signifie

que

tend vers o avec le module fonctionnel de ox\ cette condition est évidemment indépendante du point considéré.

2^ Cela revient au même de dire d'une fonclionnelie linéaire qu'elle est eontinue, ou de dire qu'elle est finie dans tout champ fonctionnel fini.

En effet, dire qu'elle est finie dans tout champ fonctionnel fini revient ."i dire que

1 1 37(0 1 1 < M entraîne mod U | [a-] |< K.

Il est évident, l étant linéaire, (pie si l'on multiplie M par un facteur p, K est multiplié par le même facteur. On peut donc choisir M assez petit pour que K soit inférieur à tout nombre positif donné, c'est-à-dire que L est conlinu au point x = o et, par suite, en tout point.

Une variation, qui est une fonctionnelle linéaire de ox, n'est pas nécessairement continue par rapport à cet argument. Mais on peut montrer que, si U est une fonctionnelle continue de x, oU est une fonctionnelle continue de ox. En eft'et, le module fonctionnel m de ox =^ Xi — X tendant \ers zéro, l'ac(;roissement U< — U tend vers zéro, par définition de la continuité; d'autre part, par définition delà variation, Texpression (3) et, par suite, son numérateur U, — U — ôU tendent sers zéro. Donc ol tend vers zéro. Cette fonctionnelle est donc continue à Torigine et, [)ar suite, <'n tout point.

iO. La formule de M. Hadamard, — M. Hadamard, dans sa Note déjà citée de 1908, a le premier posé et résolu le problème de chercher une expression analytique susceptible de représenter toutes les fonctionnelles linéaires continues.

Remarquons d'abord avec lui que la propriété d'addition des fonctionnelles linéaires se généralise immédiatement au cas d'un nombre quelconque de fonctions, de sorte que la relation

(;j) x(t) =z aiXii t) -^.. .— a,iX„{t)

entraîne, si U est linéaire, la relation

U !(^(0]l =«iU|[^.-i(^)ll-+-...+ ««ui|.r;,(OJI-

Supposons la fonctionnelle C définie et bornée pour toutes les fonctions x{t) continues, et ayant, par suite, d'après le n" 39, la continuité liée au voisinage uniforme de deux fonctions; si donc x(t) tend uniformément vers une limite X(^), U||^(i)J| tend vers

Appliquons ce résultat à rexpression (5), en supposant qu'à la limite, la suite Xi{t), ..., Xn{f) soit remplacée par une fonction continue :vi{t) de t et d'un paramètre X, et que c<^tte expression devienne une intégrale. jNous voyons que la relation

i[x(oii= f'y{i)v\[xi{t)]\d\.

X(/)= / f(l)xy(f)dh entraîne la relation

En particulier, la relation

œ^Xt) = — ;

entraîne la relation

U||^j,(0]|= f F(>-. iJ.)x{l)dl,

en posant

Or, pour ;j. infini, Xy,{^) tend luiifonnément (') vers:r(^). 11 vient donc

(6) U![.r(^)]|=,lim f ¥{t,ix)x{t)dt.

Telle est Texpression analytique, formée par M. Hadamard, qui

(^) L;i font lion x{t) rtani rotiliiiuc, donc nniformémciit continue, on peut choisir r, de nianièir (|uc | t —^ ] < r, entraîne \x{-:) — x{t)\<.t. Or, pour \i. assez ^qand, une fraction é^'ale à i — : de lintégralc I, qui est au dénominateur, c<t obtenue pour un intervalle d'intéj^ral ion constitué par une partie de l'intervalle {t — rj et {t + T,), Les deux parties de l'intégrah' ainsi distinj,'uées, égales à (i — z)\ et el, sont multipliées respectivement, si l'on multiplie la fonction intégrée para7(6), par x{~) et 57(7'), T et t' étant compris dans les deux parti(>s de l'intervalle (o, i). Or x{-) est de la l'orme x{t)^b^z, où (6,|. i, el x{i') = Ô^M, où | Ô, |< i et où M est le maximum de \xit)\. Doik .37^^(0 <• '<• valeur

«t sa différence avec x(t) est l»ien aussi petite (|u'on \eut, dans tout l'intervalle o, i), i)our £ assez petit.

représente la fonctionnelle linéaire et continue la plus générale définie dans le champ des fonctions continues. Elle est évidemment beaucoup plus t;éncraLe que Fintégrale de M. Volterra. Elle est même, à certains points de vue, trop générale. Il est évident qu'une fonctionnelle qui peut être représentée par la formule (6) peut l'être d'une infinité de manières, en faisant varier le choix de la fonction F(^, a). 11 y a intérêt à chercher une représentation ne comportant pas cette indétermination. Un tel résultat a été obtenu par M. l Ricsz (Comptes fendus ^ 29 novembre 1909).

41. La formule de M. Fr. Riesz. — Faisons sur la fonctionnelle \J les mêmes hypothèses que précédemment et, de plus, supposons-la définie pour les fonctions ayant un nombre fini de discontinuités de première espèce. Soit Xx{t) la fonction égale à i si ^^t et à o si / > t. Posons

ui[^,(0]|=/(^).

Si t>t', Xx — Xx' représente une fonction égale à i si -:'<; ^^t et à o pour les autres valeurs. Pour cette fonction, U a évidemment la valeur/(T)-/(T).

Il en résulte a^isément que/(^) est à variation bornée. Soit, en effet, M le module maximum de U pour les fonctions x(t) de module ^i (ce maximum existe, en vertu de l'hypothèse de la continuité). Considérons en particulier une fonction égale à £|, £27 • • •• Sp dans chacun des intervalles (o, i,), {t^, t^)^ . . ., {tp-\^ 0' ^*^* ^ étant tous égaux à -f- i ou à — i , et les t étant des nombres croissants dans l'intervalle (o, i). Pour cette fonction, U a la valeur

^i[/(^i)-/(o)] + £.[/( ^2) -/(^i)]+...-i-£4/(0~yV/p-i)], (fui, pour un choix convenable des e, devient

I /(<i)-/(o) 1 + 1/(^2) -/( ^1)1 4-... + 1/(1) -/(Vi)l-

Cette expression élanl au plus égale à M, quel que soit le choix des ^ f{t) est à variation totale au plus égale à M. donc bornée.

Ce résultat obtenu, nous pouvons représenter d'une manière approchée une fonction continue x{t) par une fonction X(^) égale dans chacun des intervalles (//i, ti) à une des valeurs Xi àe x{t) dans cet intervalle. Si le plus grand de ces intervalles tend vers zéro, X(/) tend d'une manière uniforme vers x{t).

Or on a, en raison de la propriété caractéristique des fonctionnelles linéaires,

et, à la limite, on peut écrire

(7) Ul[^(/)]1= f x{t)df{t).

Les fonctionnelles considérées sont donc représentables par une intégrale de Stieltjes. Cette représentation ne comporte pas l'indétermination de la représentation par la formule de M. Hadamard et se distingue aussi de cette formule par le fait qu'elle ne représente pas d'autres fonctionnelles que celles ayant la continuité considérée.

On obtient une autre expression de la fonctionnelle linaire U en utilisant la décomposition de l'intégrale de Stieltjes indiquée au n'*31. On trouve ainsi

(8) Ll[-^(0]l=»/-^-('/)-^- / ^^-(01-^(0^^+/ 3c{t)dç{t),

8) .Ll[-^(0]l=y«/-^'('/)-^ f x{t)ix{t)dl+ Ç

^\ai\ étant convergente, Lt(^) étant sommable et cp(/) étant à \ariation bornée, continue, et ayant toute sa variation concentrée dans un ensemble de mesure nulle."

i2. Nous avons supposé jusqu'ici que L était défini pour les fonctions admettant un nombre fini de discontinuités de première espèce. 11 est d'ailleurs à noter qu'avec cette hypotlièsc, et ûx{t) est discontinue en l'un de5 t/, il est essentiel, pour l'application des formules (7) et (H), que la signification de ^(t/) soit bien précisée.

Nous allons supprimer cette hypothèse et montrer qu'on arrive au même résultat en supposant U définie seulement dans le champ des fonctions continues.

Nous dirons qu'un point t est un point ordinaire pour l'a fonctionnelle linéaire LJ si, étant donné £ positif, on peut toujours déterminer Tj tel que l'hypothèse qu'une fonction continue x{t) soit nulh; en dehors de l'intervalle (t — ri, t-|- vi) et comprise entre — 1 et H- i dans cet intervalle, entraîne |U|<£. Dans le cas contraire, t sera à\l point de discontinuité^ et nous appellerons écart correspondant à ce point la li-mite supérieure des valeurs de e pour lesquelles n'existe

CHAP. IV. — VARIATION PREMIÈRE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. Jj

pas de nombre /,. Cet <îeai t étaiil désigné par a, nous pouvons alors affirmer que, quelque petits que soient les nombres positifs e et Ti, on peut trouver une fonction continue x{t), nulle en dehors de rinlervalle (t — r^^-z-i-ri) et comprise entre — i et +! dans cel intervalle, et à laquelle corresponde une valeur de L positive et supérieure à a — î.

Je dis maintenant que les points de discontinuité sont dénombrables et que la somme des écarts correspondants est au plus égale à M, limite supérieure de L pour les fonctions de module ^ i . Il suffit de montrer que Ton ne peut pas avoir, pour un nombre lini de points de discontinuité, t, . . ., t^^,