IM'> M

S'il en était ainsi, nous pourrions choisir î, , . . . , 6p tels que

et 7^1, . . . , '/]^ tels que les intervalles (t/— r,/, T^-f-r,/) soient extérieurs les uns aux autres. A chacun de ces intervalles, on pourrait faire correspondre une fonction continue Xi{t), nulle en dehors de cet intervalle, et comprise entre — i et -f- i dans cet intervalle, et pour laquelle la fonctionnelle L prenne une valeur Ut positive et supérieure à ai — s/. l^)ur la fonction

qui est continue et comprise enlre — i et + i, la fonctionnelle prendrait la valeur

ce qui est contraire à 1" hypothèse. Il en résulte bien que la somme des çip ne peut dépasser M et, par suite, que les -Zp sont dénoml)rables.

Soit maintenant un point ordinaire t. Soit x.^{t) la fonction déjà considérée égale à i pour /£-: et à o pour ^ >t. .le dis que, malgré sa discontinuité, L est défini pour cette fonction. En effet, on peut modifier x\ dans un intervalle très petit (t -- r,, t + Tj) de manière à rendre cette fonction continue et comprise enlie o et i, et, pourvu que Tj soit assez- petit, aux différentes fonctions que l'on peut ainsi obtenir correspondent des valeurs de l; difîerant les unes des autres

de moins que tout nombre donné e. 11 en résulte bien que, rj tendanl vers zéro, U a une limite. Soit/(T) cette limite.

Cette fonction étant obtenue, nous pouvons reprendre les raisonnements du n" 41 en spécifiant seulement que la fonction X(i) par laquelle nous représentons a? (^) d'une manière approchée aura des points de discontinuité tt qui seront tous des points ordinaires de la fonctionnelle. On voit d'ailleurs aisément que f{t) est à variation bornée, de sorte qu'il nj a rien de changé aux résultats précédents ; les quantités que nous désignons par ai sont, au signe près seulement, celles que nous avions désignées de cette manière au n*^ 41.

43. Les fonctionnelles linéaires continues dans le champ des fonctions de carrés sommables. — Supposons mainteliant la fonctionnelle linéaire U définie et bornée dans le champ des fonctions de carrés sommables, et par suite, d'après le n° 39, continue, avec la définition de la continuité qui est naturelle dans ce champ, celle liée au voisinage en moyenne.

Une telle fonctionnelle est a forliori définie et bornée dans le champ des fonctions continues et, par suite, représenlable par les formules (-) et (8). Mais la continuité plus restrictive que nous considérons actuellement entraîne cette conséquence qu'on ne risque pas de changer la valeur de U en changeant vc(^) pour les ])oiul> d un ensemble de mesure nulle; il n'en serait certainement pas ainsi si L contenait effectivement le premier ou le troisième terme de la formide (8). Celte formule se réduit donc au second terme, et Ton a

la fonction [Ji.(':) étant sommable.

Je dis qu'elle est même de carré sommable. Si, en effet, l'intégrale

F(0=J l^df{\),

/(;) désignant la fonction sommatoire de{j.(/) dans l'intervalle (o, i), devenait infinie (soit positivement, pour E infini positif, soit négativement, pour \ infini négatif), on pourrait trouver une fonction X(/) de carré sommable et pour laquelle l'intégrale (9) n'aurait pas de

sens. Il suffit de prendre

avec £=±:i suisant que \f^{t) est positif ou négatif. On a, d'après les formules de M. Lebesgue,

formules (pii montrent bien que le module fonctionnel de X(/) est borné, mais que l'intégrale (9) n'a pas de sens pour cette fonction. On peut alors trouver des fonctions continues :r(^), convergeant en moyenne vers X(7), et telles que les valeurs correspondantes de L, bien (télinies par la formule (9), n'aient pas de limite; ce résultat est en contradiction avec l'hypothèse que L soit défini et continu pour la fonction X(^); c'est donc que |J^(^) est de carré sommable.

Cette condition étant remplie, il résulte de l'inégalité de Schwarz que l'expression (9) représente bien une fonctionnelle linéaire, définie et continue dans le champ des fonctions de carrés sommables. Nous avons. ainsi Texpression générale d'une telle fonctionnelle.

Ce résultat est dû à M. Fréchet, qui l'a- d'ailleurs établi sans utiliser l'intégrale de Stieltjes {voir n" 99).

4i. Les fonctionnelles linéaires et continues d'ordre/?. — Appelons Cy, le champ des fonctions continues, ayant des dérivées absolument continues {voir \)P 28) jusqu'à l'ordre /> — i, et- une dérivée d'ordre /> de carré sommable. En d'autres termes, c'est le champ des fonctions de la forme

;r^^ (s) étant de carré sommable. Appelons C^^, le cliamp obtenu en supposant de plus que cette dérivée soit continue.

Considérons une fonctionnelle linéaire L définie dans Cy, et ayant dans ce champ la continuité liée au voisinage en moyenne d'ordre/?,

6o PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCtL FONCTIONNEL.

OU bien (deuxième hypothèse) définie dans G' et ayant dans ce champ Ja continuité liée au voisinage uniforme d'ordre p. 11 résulte de ces hypothèses et de la formule (lo) que

V étant une fonctionnelle linéaire continue d'ordre zéro à laquelle, suivant qu'on fait sur U l'une ou l'autre des hypothèses ci-dessus, on peut appliquer la formule de M. Fréchet ou celle de M. Vi\ Piiesz. Dans le premier cas, par exemple, et pour/) = i , il vient

(12) l]\[a']\=aoCc(z)-^- ( x' {t)ix{t) dt.

Si la fonction [jl est à variation bornée, cette expression est continue d'ordre zéro et se ramène par une intégration par parties à la forme

Ul[^][ = rto^('r) + |>(/)îJL(0]J— f oc{t)diJ.{t).

identique, aux notations près, à celle de M. Riesz. Mais si 'J.{t) n'est pas à variation bornée, la formule (12) représente une fonctionnelle plus générale.

Des circonstances tout à fait différentes se présentent pour la formule de M. Hadamard, qui peut représenter toutes les fonctionnelles considérées actuellement et dont, par suite, la généralité n'augmente pas si l'on y remplace oo{t ) par x^P^{t). Gela tient à ce que, si x{t) a des dérivées continues jusqu'à l'ordre p, oc^{t) pour [à infini a avec x{t) un voisinage uniforme d'ordre /? et, par suite, L ||^jj.Ù)|| a encore pour limite U| [^(/) ] |.

D'ailleurs, si l'on écrit x^P\t) au lieu de x{t) dans la formule (() ), il est aisé de ramener la nouvelle forme obtenue à la forme initiale.

On voit donc que cette formule est beaucoup plus générale que les fonctionnelles que nous avons voulu représenter par elle. On peut montrer qu'elle représente, non seulement toutes les fonctionnelles ayant une continuité d'ordre fini /?, mais même des fonctionnelles ayant une continuité d'ordre infini comme celle que nous avons formée (n*' 12). Si elle présente l'inconvénient de ne pas donner des fonctionnelles qu'elle représente une représentai ion unique, elle présente favantage d'une extrême généralité.

io. Les fonctionnelles dépendant d'une fonction de deux variables. — IVous indiquerons à la (in de ce Cliapilre diverses généralisations. Il faut dès maintenant que nous considérions les fonctionnelles Li dépendant des valeurs prises par une fonction ip(.s, /) de deux variables s el t dans le champ

(i) j o^sSi, o^t^i.

11 est à remarquer qu'on n'augmenterait pas la généralité en prenant un champ de forme quelconque intérieur à ce carré, et par suite un champ fini quelconque.

La formule (i) se généralise sans difficulté et s'écrit

6U = / / ^{s, t)ùx{s,t)dsdt.

Les formules de MM. Hadamard, Riesz et Fréchet se généralisent aussi sans difficulté. Précisons-le en ce qui concerne ces deux dernières.

Soit U une fonctionnelle linéaire de x{s^ t) définie dans le champ des fonctions continues et ayant la continuité liée au voisinage uniforme d'ordre zéro; appelons ^|[S][ sa valeur pour une fonction égale à I dans une aire S intérieure au carré (i3), et à o en dehors de cette aire. La fonctionnelle U étant linéaire, <ï> est une fonctionnelle addilive, et sa variation, limite supérieure de

S|D*| = SHD4>,

H ayant la valeur -|-i ou — ^ i dans les différentes aires DS suivant le signe D4>, est au plus égale à la limite supérieure de U pour les fonctions x{s^ t) dont le module est partout égal à i ; elle est, par suite, bornée. Nous appellerons cp(5, t) la fonction liée à 4^, comme il a été indiqué n'' 32.

On généralise alors sans peine les raisonnements qui conduisent à la formule de M. Riesz et il vient

(ï4) \}= f f x{s,t)d^= f fx{s, t)dsdt^{s, t\

les quadratures étant étendues au carré (i3).

46. Supposons maintenant U définie dans le champ des fonctions

6l PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

de carii's somiiiables et ayant la coiilinuité liée au voisinage en moyenne d'ordre o. La formule (i4), déduite d'hypothèses moins restricli\es, s'applique a fortiori. Mais, dans la répartition de masses liée à la fonetionnelle <ï>, il ne peut ici y avoir de masse finie dans un ensemble de; mesure superficielle nulle; si, en effet, il n'en était pas ainsi, on chanjj;erait 4> en changeant ^(.v, t) dans cet ensemble, ce qui est contraire à l'hypothèse de la continuité. La fonctionnelle 4> se réduit alors au terme <!>/, {voir n^ 31), et il vient

(ij) ^~/ / ^{s, t)\J.(s, t)ds dt.

Cette expression devant être finie pour toute fonction x{s^ t) de carré sommable, on voit, en raisonnant comme nous l'avons fait n" 43, cpie [ji(.s-, t) doit être de carré sommable.

La formvile (i5), où pi est de carré sommable, donne alors l'expression générale des fonctionnelles considérées. Elle généralise celle de M. Fréchet.

47. Les fonctionnelles bilinéaires. — Considérons une fonctionnelle l dépendant de deux fonctions x{s) vl y{l) définies toutes deux dans l'intervalle (o, i), et qui soit fonctionnelle linéaire de chacune d'elles. On dit qu'elle est bilinéaire.

Supposons-la définie dans le champ des fonctions continues et ayant la continuité liée au voisinage uniforme d'ordre o. En appelant cp((7, T) la valeur de U lorsque x{s) est une fonction égale à i pour s <^'7 et nulle pour ^^o-, et lorsque y (^) est une fonction égale à I pour t<^'z et nulle pour ^^t, on arrive, par une nous elle généralisation des raisonnements de AI. Riesz, à la formule

U \xi^s),y{t)\\= f f x{s)y{t)ksdt^{s,t),

la fonction '^(5, t) étant liée à une fonctionnelle additive à variation bornée.

48. Supposons maintenant L définie dans le champ des fonctions de carrés sommables et ayant la continuité liée au voisinage en moyenne d'ordre zéro. Si la formule (16) ressemblait à la formule (il), il va y avoir ici une différence avec la formule (i5). La

rép?.rtition des masses liées à la fonction Z)(s^ /) peut ici être telle que des masses finies soient situées sur un ensemble de mesure superficielle nulle, pourvu qu'en projection sur chacun des deux axes il ait une mesure linéaire non nulle. En se reportant à la décomposition en cinq termes de la fonctionnelle tp liée à 'j(.v, /) (n*^ 31), nous voyons ici que nous pouvons trouver :

i" Des masses (correspondant au terme ^I^o)? réparties sur des lignes nofi parallèles aux axes, et exprimable par une intégrale de M. Lebesgue étendue à ces courbes;

2.'^ Des masses (correspondant au terme ^V, ), réparties sur toute la surface et exprimable par. une intégrale double de M. Lebesgue;

3° Des masses (correspondant au terme ^ï^^), réparties dans un ensemble de mesure superficielle nulle sans qu'aucune masse finie soit répartie sur une courbe, ni dans un ensemble dont la projection sur l'un des axes ait une mesure linéaire nulle. De cette dernière condition résulte que les fonctionnelles linéaires <l*^ que nous pouvons envisager ici sont plus particulières que celles du n'' 31. Le calcul de Fintégrale double de Stieltjes à laquelle nous sommes conduits ici se ram^e, quelle que soit celle des variables ^ et ^ par laquelle on commence l'intégration, au calcul d'une intégrale simple de Stieltjes suivi d'une intégrale de M. l^ebesgue [voir n" 3i, remarque finale).

Ainsi, en se reportant aux exemples du n" 33, on voit que le troisième donne une fonction <t>^' convenant au problème actuel, mais qu'il n'en est pas de même des deux premiers.

Mais ces conditions ne suffisent pas encore pour que U soit fini pour tout système de fonctions x[s) et y(t) de carré sommable. Piemarquant que le produit^(.y)y(^) est de carré sommable lorsqu'il > agit d'une intégrale double, mais que, intégré le long d'une courbe du plan des 5, ^, il est seulement sommable, on voit sans peine que :

1° Pour les masses réparties sur des lignes, il faut et il suffît que, si l'on considère toutes ces masses comme positives et qu'on les projette successivement sur les deux axes, les répartitions obtenues aient une densité bornée;

2° Pour les masses réparties sur la surface, il faut et il suffit que leurs densités soient de carrés sommables ;

3" Il est plus difficile de donner une forme simple à la condition

64 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEf .

que doivenl vérilier en plus de celles déjà indiquées les masses correspondant au lerme <I> 5. Contentons-nous de luonlrer par un exemple que ces masses peuvent exister effectivement.

Posons

et désignons par /'(z<, r) une fonction continue et par x^{v) une fonction continue à variation bornée avant toute sa variation dans un ensemble de mesure nulle. La répartition de masses vérifiant cette condition qu'un petit rectangle de côtés du et civ parallèles aux axes des u et des ç contienne des masses f(u, i') du dx;t( v), remplit les conditions voulues. On voit sans peine que, tf) étant la fonctionnelle correspondant à cette condition, l'intégrale

ff

étendue au carré (10) est continue dans le cliauq) des fonctions x et y de carrés sommables.

i9. Les correspondances linéaires entre deux fonctions. — Le problème des transformations ponctuelles, si important dans l'espace à Ji dimensions en vue de la théorie des changements de variables, se généralise au cas de l'espace fonctionnel ; en n'employant plus le langage géométrique, ce problème généralisé est celui de la correspondance entre deux fonctions. Pour appliquer la notion de variation à la relation qui exprime une telle correspondance, il faut d'abord étudier le cas d'une correspondance linéaire.

Un exemple classique d'une telle correspondance est celle qui existe entre la valeur sur un contour d'une fonction harmonique représentable à l'intérieur de ce contour par un potentiel de double couche, et la densité de ce potentiel.

Considérons, d'une manière générale, une fonction X.(^) dépendant linéairement d'une autre fonction x{t)^ et ne faisons, pour le moment, aucune hypothèse sur la possibilité de résoudre par rapport à x{t) la relation qui existe entre ces deux fonctions.

Supposons d'abord qu'à toute fonction continue x(t) corresponde une fonction continue X(/), et qu'à deux fonctions x{t) eiy(t) ayant un voisinage uniforme d'ordre zéro correspondent deux fonctions X(/) et Y(/) ayant aussi un voisinage uniforme d'ordre zéro.

CHAP. IV. — VARIATION' PREMILUB lîT I ONCTIONNELLES LINÉAIRES. 6")

Pour chaque valeur de .s, X (.v) est alors une fonclionnelie linéaire et continue de x{t) à laquelle nous pouvons appliquer la formule de M. Riesz, ce qui donne

(21. X(^)= f X{t)dtf{s, /),

/(.y, t) étant une fonction de t k variation bornée.

Il faut de plus que X(5) soit une fonction continue de s, quelle que soit la fonction continue x{t). La condition que doit remplir la fonction y'(.ç, t) pour qu'il en soit ainsi peut être mise sous la forme suivante: par tout point A de coordonnées ^, t telles que *

{■>.l) 0S5^I, O^fll,

on peut faire passer un petit arc de courbe sur lequel s soit constamment croissant et sur lequel /(5, t) soit une fonction continue. Cet arc devra être défini de part et d'autre du point A, sauf bien entendu si, en ce point, s a l'une des valeurs extrêmes o ou i .

Il pourra d'ailleurs arriver que cet arc ne puisse pas dépasser un point B très voisin de A, comme nous allons le montrer par un exemple, sans donner la démonstration générale du résultat précédent.

Soit C une courbe fermée convexe intérieure au carré (22), sur laquelle s atteigne son minimum Sy en un seul point B, et son maximum s^ en un seul point B2. Appelons t' et t\ {t' <C f") les ordonnées des points où la droite d'abscisse .ç coupe la courbe G, s étant compris enire 5, et .^2- Posons

X(S) =^ X{t')—X(t") (Si<S<S2),

et \.{s ) = o si 5 n'est pas compris entre 5, et .s^. Cette fonction est bien de la forme (21), la fonction /(à-, t) étant égale à i à l'intérieur de C, et nulle sur cette courbe et aux points B, et B^.

Pour tout point A intérieur à C, l'arc de courbe considéré, où s croît et où/(.s, l) est continue, existe bien, mais il ne peut pas dépasser B< et B2. En ces points, il existe encore, puisqu'on peut définir un arc partant de chacun de ces points et extérieur à la courbe et sur lequel s soit croissant.

oO. Supposons maintenant la correspondance linéaire enlre x{t) X(^ ) telle qu'à toute fonction x{t) de carré sommable corresponde une fonction X(/) de carré sommable, et qu'à deux fonctions .^(^)

ely{l) ayant un voisinage en moyenne d'ordre zéro correspondenl deux fonctions \(/)el ^{f) ayant aussi un voisinage en moyenne d'ordre zéro.

Nous ne pouvons pas ici partir de la l'ormuie de M. Frécliel comme nous sommes partis de celle de M. Riesz pour écrire la formule (2]). En effet, X(.v), pour une valeur déterminée de s, est bien nue fonclioiiuelle linéaire de Jc{t)^ mais non nécessairemeiil finie ; i)ii ])eul même dire cju'elle n'est pas Lien détinie, puiscpie (n^' ^1 ) on ne peut pas toujours définir la valeur d'une fonction mesurable pour une vale\ir particulière de la variable, et (pi'une telle fonction doit être considérée comme connue lorsque l'on connaît sa fonction souimaloire et qu'on sait effectuer sur elle les opérations d'intégration.

Considérons alors l'intéi:rale

\{s) y{s) ds\

Dire que X(a) est de carré sommable équivaut à dire que l est finie pour toute fonction y (5) de carré sommable, et la connaissance de cette intégrale j)our toutes les déterminations p(^^sibles de >^(.ç) équivaut à celle de X(a' ).

Or l est une fonctionnelle bilinéaire i\e x et )' à laquelle nous (MHUons appliquer les résultats du n" i8. Par ce détour, on ]>eut dire qu'on a défini la correspondance linéaire Ja j)lus générale entre deux fonctions de carrés sommables.

On peut aussi prendre pour y(^), non une fonction quelconque de carré sommable, mais seulement les fonctions trigonométriques ces 2/^'7^/ et ^kïvinizt. \ est alors défini par ses coefficients en série de Fourier, qui sont des fonctionnelles continues représentahles par la formule de M. Fréchet.

\ous reviendrons au Chapitre SW\ sur ces coirespoudances et nous étudierons le problème de la résolution par rapport à ./ de la relation entre .t" et X.