LE POINT DE VUE PRATIQUE

ol. Forme normale de la variation d'une fonctionnelle. — Au point de vue pralicjue, l'intérêt des résultats précédents ne doit ])as être exagéré. Nous ne rencontrerons pas dans les applications d'exemples

«:H\1\ IV. — VARIATION PREMIERE KT FONCTIONNELLES LINEAIRES. i)'j

d'intégrales de Slieljes qui ne puissent se remplacer par des sjm^ boles d\in emploi plus commode. Il y a donc intérêt, si Ton veut étudier les équations aux dérivées fonolionnelles, à ne pas s'atlacher à mettre en évidence les formes des fonctionnelles les plus générales, mais à prendre pour objet de notre étude celles qui peu\ent se rencontrer dans les applications.

A ce [)oint de vue, nous pouvons dire que la forme habituelle de la variation d'une fonclionnclle continue d'ordre zéro est

oV ^^ aiox(-i) -r- I z(t)ox(t)dt,

l'intégrale étant une intégrale ordinaire. Il n'y a pas à tenir compte des autres termes de la formule (8).

La variation d'une fonctionnelle comprend ainsi deux parties, d'une part une intégrale de M. \ olterra, d'autre part des termes indiquant une dépendance spéciale de V par rapport aux valeurs de la fonction ^(t) en certains points particuliers. H y a avantage pour la théorie générale à supposer que ces points n'existent pas; nous dirons dans ce cas que la fonctionnelle considérée est normale. Dans les applications où de tels points existeraient, il serait possible d'utiliser fjuand même les résultats obtenus en considérant la fonctionnelle étudiée comme dépendant de toutes les valeurs de la fonction ;r(^), et en outre de ^(t^ ),\r(T2), ... ; en tant que fonctionnelle de x{t)^ on peut lui appliquer la théorie générale.

Toutefois, il faut éviter de négliger, sous prétexte de simplification, l'influence des points particuliers dans certaines questions où leur existence est à prévoir. Ainsi, lorsque la délinition d'une fonctionnelle U ne met aucun tel point en évidence, sa dérivée fonctionnelle U^;(T) doit être considérée comme dépendant normalement de loutes les valeurs de x{t) et en outre de ^(t). Si elle est continue d'ordre zéro, ce qui sera le cas général si la fonctionnelle U l'est, on est conduit à écrire

Telle est la forme normale de la \ariation d'une dérivée fonctionnelle ayant une continuité d'ordre zéro; nous reviendrons sur ce point quand nous étudierons les dérivées fonctionnelles secondes.

3*2. Cas de la continuité d'ordre/?. — Des considéralions analogues, si une fonctionnelle dépend d'un seul point parliculier t et a une continuité d'ordre /?, conduisent à prendre comme forme normale de sa variation

('î5) oU = AoOj:(-) -h Al ôa7'(T) H-. ..+ A;, Sy/''(T) -^ / ç(

f)ox(i)dt.

En partant de la formule (ii), on est d'abord conduit à faire figurer dans l'expression de ôL une intégrale de la forme

fit) OT'^P^(t) dt.

Si f(t) admet des dérivées continues jusqu'à l'ordre /?, une iiiïégration par parties la ramène à la forme d'intégrale qui figure dans la formule (25) et en outre à des termes dépendant spécialement des points particuliers ^ = o et ^ = i . On est donc conduit à dire qu'il arrivera fréquemment qu'une fonctionnelle continue d'ordre j[> ^> i dépendra spécialement des valeurs de a:{t) et de ses dérivées aux extrémités de l'intervalle de variation de t.

Une autre circonstance à prévoir est que la fonction /(^) devienne infinie, ainsi que ses dérivées pour t = ^. Siipposons qu'elle admette un pôle simple; la fonction o{t) aura alors un pôle d'ordre /? -|- i . L'intégrale de la formule (25) n'a plus de sens, mais l'intégrale

(26 j f oit) h.r{t) — oxiz) - {t— z) Bx' (-z) —. . .— ^J—^^x^P^{-)\ dt

a un sens bien défini ; il en est de même de l'intégrale

(27) v.p,J <f(t)^ox{t)- oxi-z ) - (t -x)?.x'(-.) -. • .

- ùx'i>-'^\z)

je//,

c. p désignant la valeur principale au sens de Cauchy, c'est-àdire la limite, pour s = o, de l'intégrale obtenue en retranchant l'intervalle (t — e, t -f- s) de l'intervalle d'intégration.

On est ainsi conduit à des expressions un peu plus générales que la formule (25), obtenues en remplaçant l'intégrale de cette formule par l'une des expressions (26) et (2^). Elles se réduisent à la formule (20) lorsque la fonction 'o{t) reste finie pour t^:^i.

ClIAP. IV. — VARIATION PREMIERE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. 69

Ces différenles formules peuvent en })articulier s'appliquer au cas de la variation d'une dérivée fonctionnelle.

o3. Les expressions précédentes se rattachent naturellement à la formule de M. Hadamard. jNous allons le montrer en indiquant une circonstance qui se présente effectivement dans la théorie de la fonction de Green (' ).

Soit une fonctionnelle Ux dépendant de x (t) et d'un paramètre X. Supposons que, pour /> ;> o, nous ayons établi la formule

Ux= / cç^ (t)ox{t) c/t,

mais que cette formule cesse d'avoir un sens pour Ai=o, la fonction cpo(<) ayant un pôle double pour ^ = t. Nous supposerons, de plus, que le produit (t — .T)-cp)(^) reste fini, non seulement pour À z=z o, mais pour k voisin de o. On est conduit à définir oUo par la formule

5Uo = lim oUx= !im / ç-^(t)ùjc(t) dt

qui est identique à celle de M. Hadamard. Etant données les hypothèses faites sur la fonction ^i(t)^ celle expression devient

(28) SUo= f ^,{t)[^x{n — oa;(z)~{t--)ox'(-)]dt-+-Xoo:r(z)^\i.^x:'{x),

en posant

y\o=hm / ^ (t)dt,

Ai= l,im / (p (t)(t~')dt.

1 = 0 Jo '-

On obtient ainsi l'expression envisagée^ n^ 52, p ayant ici la valeur i .