Les correspondances linéaires entre deux fonctions. — La

(') Elle se pr«':scnto {orsquOn vcal appli({u«'r la tormult^ .[ui donne la variation de

7 — au cas (jù l'un des points A et B vient sur le contour {voir le Chapitre III

de la deuxième Partie),

méthode des n^- 4^> et 50 conduit, pour l'expression d'une fonction dépendant linéairement d'une autre fonction, à des résultats beaucoup moins simples que ceux de MM. Riesz et Frécliet pour les fonctionnelles linéaires. Mais au point de vue pratiepie que nous venons d'indiquer, ces résultats se simplifient beaucoup, et l'on est conduit à dire que, dans le cas de la continuité d'ordre zéro envisagée (n**' 49 et 50), la forme normale d'une fonction \{s) dépendant linéairement d'une fonction :r{t) est

(9.9) xis) =2«,(5)^[t/(5)] -+■ r :p(o?(^, 0

Les conditions que doivent vérifier les fonctions ai(s), '^■i{s)i ç(5, t) pour que cette correspondance vérifie les conditions de continuité indiquées, soit n° 49, soit n* 50, se déduisent d'ailleurs aisément des résultats des n*'* 49 et 48.

II convient de remarquer que, pourvu que ':[s) dépende effectivement de 5, les termes dépendant d'un point particulier t(5) peuvent exister même dans le cas où Ton veut que le voisinage en moyenne de deux fonctions x{t) el y(t) suffise pour entraîner le voisinage en moyenne des fonctions correspondantes X(6) et ^ (s). Au contraire, ils n'existaient pas dans le problème traité par M. Frécliet, où le même voisinage des fonctions x{t) eiy{t) devait entraîner le voisinage des valeurs correspondantes d'une fonctionnelle U ne dépendant pas d'un paramètre. Il suffit, pour se rendre compte de cette difTérence, de considérer rexemple des fonctionnelles dépendant de x{t) :

La première a la continu iié désirée et non la seconde.

Dans le cas où l'on envisage des continuités d'ordre /> ^^ o, il y a lieu d'ajouter à la formule (29) des termes analogues à ceux introduits dans les formules (20) et (26), les a et les t étant ici des fonctions de 5.