GÉNÉRALISATIONS DIVERSES
55. Fonctionnelles dépendant des valeurs d'une fonction x (t) pour des valeurs quelconques de t {t compris entre — oo et -j- 00). — Nous
ii'intljquoiis ici ce cas que pour mémoire, ii ayant en vue aucune application dans la suile. Indiquons seulement comment il faut appliquer la mét|io(l<' du p;is>ai;(' du Hni à l'iniini.
Clioisissons un mode de division de l'axe des t en n intervalles [)ar des points de division it,, ^,, . . . , /«4. Supposons que n devenant infini, t^ devienne infini ])ar valeurs négatives, Z,i, par valeurs positives, et que, dans un Intervalle fini quelconque de Taxe des ^, le plus grand des intervalles [)artiels (^,, ti^^) qui lui soit intérieur tende vers o. Tel est le cas par exemple si l'on définit ti par la formule
ou bien si Ton prend la suite
p étant un entier devenant infini.
Soit JCi une valeur d'une fonction x (t) dans l'intervalle (//-,, li)^ et s(»i( \ (t) une fonction égale dans chacun des intervalles à la valeur choisie Xi. Lorsc|ue n devient infinie, X (^) tend vers x (t), et cela uniformément dans tout intervalle fini. Une fonctionnelle de X (t) peut alors être considérée comme la limite d'une fonction de ,r,. . . ., Xft.
Le lecteur trouvera une application de ce procédé dans les travaux de R. (iateaux [Siw la représentation des fonctionnelles continues {Rend. d. R. Accademia dei Lincei^ i*"' mars 1914)]-
Dans le cas qui nous occupe, la forme normale de la variation, généralisant celle de M. Volterra, est
^ + 00 (Jo) oU = / oit) ox{t)dt.
Celte intégrale n'a de sens que si ox (t) vérifie certaines conditions nécessaires à sa convergence. Ces conditions peuvent d'ailleurs ne pas être très restrictives. Si l'intéurale
\^(t)\dt
a un sens, il sutlil (|ue ox (t) soit limité supérieurement, c'est-à-dire que la fonction variée y (t) tende uniformément vers x {t).
06. Fonctionnelles dépendant d'une fonction de n variables. — Nous avons àé]k exauiiné le cas où n =. 2. D'une manière générale, si une fonrtionnelle L dépend des valeurs prises par une fonction x it^ , . . . , ^,j) dans un domaine V de l'espace lieu du point de coordonnées t ^, ...,t,t^ la forme normale de sa variation sera l'intégrale d'ordre n :
(3l) oU = I ... I cp(/,, ..., tn)0X(tu ..., t,,)dt,...dtn-
Mais U peut dépendre spécialement des valeurs de x en certains points, sur certaines lignes, sur certaines surfaces, de sorte cpie l'expression de 8U peut contenir en plus des termes de la forme aox (ti, ..., -,/), et des intégrales d'ordre 1,2,...,/? — i.
57. Fonctionnelles dépendant de plusieurs fonctions. — Soit pour fixer les idées une fonctionnelle U dépendant des valeurs de deux fonctions a:{t) ely(l) pour o << ^^ i .On peut observer que la donnée (le ^(/) eiy(t) équivaut à la donnée d'une fonction unique :•(/) définie par
z(t)=y(2t-i), ■ (^L^tli).
Mais cette remarque n'empèclie pas qu'il j a intérêt à considérer comme une nouvelle sorte de fonctionnelles celles qui dépendent de deux fonctions, de même cpie la remarque que les points d'une droite et ceux d'un plan constituent des ensembles de même puissance ne dispense pas de l'étude des fonctions de deux variables ('). La forme normale de la variation de U sera ici
(3-2) BU= f [cp(0 5^(0 + 'M0 5r(<)]^^
^(t) et '\>{t) étant les dérivées fonctionnelles partielles de U par
(') En con?>idérant U comme fonctionnelle de z{t), on renconlicrait cii général ceUe circonstance que U'zit) dépendrait spécialement, non seulement de ^(0» n\a\ii
aussi de z ( t ± -\. Le meilleur moyen d'étudier des fonctionnelles présentant cette
circonstance est de les considérer comme dépendant de deux fonctions distinctes X et y.
rapport à oc{t) et k(/). Nous (lcsif;nerons ces rlrrivécs par
On peiil de même considérer des ioiictionnelles dépendant d'un plus grand nombre de fonctions d'une ou de plusieurs variables.
58. Fonctions d'une ligne gauche. — Jusqu'ici, nous nous sommes placés au point de vue algébrique. Au point de vue géométrique, il y a lieu d'étudier les fonctions d'une ligne plane, d'une ligne gauche, ou d'une surface. Le lien de ces notions avec celles qui précèdent est évident ; il peut être précisé de plusieurs manières suivant les représentations paramétriques em])loyées pour définir les courbes et surfaces considérées.
Soit d'abord une courbe gauche fermée C,
dont tous les points soient obtenus en faisant varier t de o à i. Lorsqu'elle se déforme, les coordonnées du point correspondant à la valeur / du paramètre deviennent x + oc, j^ -|- 3)-, G-f-o^, les variations ùx, ùy, oz étant seulement assujetties à prendre la même valeur pour / = () et ^ = I . Pour une fonctionnelle U dépendant de la ligne C, la forme normale de la variation sera
(33) Z{]=f {\:'[^r,x-^V'yZy-^\}'^^z)dt.
^x? ^'yi '^''z étant trois fonctions de t. Ces fonctions ne sont pas indépendantes ; une fonction d'une ligne gauche étant assimilable à une fonctionnelle dépendant de deux fonctions d'une variable, il ne peut y avoir que deux dérivées fonctionnelles indépendantes. En effet, si le déplacement du point x^ y^ z est un glissement sur la courbe G, la fonction U, qui doit dépendre de la ligne C et non de la représentation paramétrique choisie, ne varie pas. 11 faut pour cela que
x' ^ k', z' étant les dérivées de x, j', ; par rapport à t.
Dès sespremiers travaux sur le calcul fonctionnel, M. V olterra a étudié les fonctions de lignes en partant de c(;s formules et défini une classe simple de fonctions qu'il a appelées fonctions du premier degré
(idciiliqiies, dans 1(^ ras d'une ligne plane, à ce que nous avons appelé plus XiawV des fonctionnelles addùiçes)^ el a obtenu à Taide de ces fondions une remarquable extension de la théorie des fonctions d'une
N anablr in>aL;in;ii vc ( ' ).
59. Fonctions d'une ligne plane et fonctions d'une surface. — ^ Paianalogie avec ce qui précède, la forme normale de la variation d'une fonction d'une ligne plane peut s'écrire
dt.
OU, si l'on prend pour paramètre la longueur d'arc ds sur la lig] considérée G,
ôU = / (U'^. ox -\- Vy ùy) ds
Dans les applications (pte nous avons en vue, nous adopterons avec M. Hadamard une forme différente, ne faisant intervenir qu'une fonction de s. La conq^osante suivant la tangente à la courbe du déplacement du point oc^ y étant sans imporlancf, u(mis n'avons qu'à tenir compte de la composante normale o/^, comptée positivement dans un sens déterminé (nous suppos^erons que la rotation qui amène la tangente prise dans le sens des s croissants sur le sens positif de la normale est de iik^uc sens que celles (pii anu''ne l'axe des x sui' l'axe des j'). La formule (35) devient alors
;U = / \j'i^ on ds,
de
U^ étant ce q«e nous appellerons la dérUée fonctionnelle de la fonction de ligne plane U. On voit d'ailleurs aisément que
x' et )' étant les dérivées de x et y par rapport à 5, c'est-à-dire les
(^) {'oiV \ . Voi.Tiuirv, Sur la génération de la théorie des fonctions dune variable imaginaire {/icta mathematica, t. XII, 1889). — TaiV a usai dans luaThrsr, 11°' 3' à 5, un résumé du Mémoire de M. Voltcrra et de Notes postérieures publiT-es dans les Rendiconti de F Ace. dei Lincei et relatives à l'extension aux espaees à plus de trois dimensions.
GHAP. IV. — VARIATION PREMIKRK ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. y5
cosinus directeurs de la Langenle à la courbe. Appelons de même on' la dérivée de on. On voit aisément que
037' = — y on\ \y' = .r' S/i',
d'où
Ces formules montrent que si, pour certaines fonctionnelles^ bien que la définition de l „ dépende spécialement d'un point particulier de la courbe, olJ'„ s'exprime par une intégrale de M. Volterra, il ne peut en être de même de SU.1 et oU^, et que, de même, l'expression de ces quantités faisant intervenir o//, U^. etU^ne peuvent avoir qu'une continuité d'ordre i (').
Dans le cas d'une fonction de surface, on arrive à une formule tout à fait analogue à la formule (36). Ici eiucore il suffit de définir la déformation de la surface S par le déplacement normal 8/i de chacun de ses points, et en prenant pour élément diderentiel l'élément d'aire ^S, oii est conduit à la formule
(37) ÔU= / *'„o/irfS
5U = f<P'n on dS
fp',f étant par définition la dérivée fonctionnelle de la fonction de surface U.
60. Remarque sur le choix d'un type simple de fonctionnelles. — Dans la plupart des questions traitées dans la suite, lorsque nous n'aurons pas en vue la recherche d'une grande généralité, nous prendrons la variation des fonctionnelles étudiées sous la forme de M. Volterra, c'est-à-dire que nous supposerons (à moins d'avoir des raisons de ne pas le faire) que la fonctionnelle étudiée ne dépend pns d un point particulier.
Dans le cas, que nous avons jusqu'ici pris pour type, des fonctionnelles dépendant d'une fonction :r(^) définie entre o et i, il arriver;) très souvent que ces fonctionnelles dépendent spécialement de ^(o) et x{\^). et même, pour la théorie générale, il sera souvent impossilde
(') Voir la Note déjà citée de M. lladamard, Sur les dérivées des fonctions de lignes {Bull. Soc. math. 1902).
d'éviter de considérer ces termes, qui s'introduiront par exeni[)le si Ton intègre par parties, comme nous l'avons vu n° o2.
On j)eut songer à (''viter cette difficulté en prenant comme type de fonctionnelles les fonctions d'une ligne plane fermée. Mais dans ce cas, une autre cause de complication se présente provenant de ce que, si nous voulons différentier la formule (36), nous ne pouvons considérer ds comme une constante. Le paramètre s est à ce point de vue l)eaucoup moins avantageux que ne l'était le paramètre t dans l'étude des fonctionnelles dépendant de x{l)^ comme nous aurons l'occasion de le montrer pliis tard.
Dans la suite, nous prendrons comme type de fonctionnelles une quantité U dépendant d'une fonction x{t) définie en chaque point d'une ligne fermée fixe C, le paramètre t variant de o à i (o << ^^i), lorsqu'on décrit toute la ligne. Cela revient, au point de vue algébrique, à supposer que x{t) et la dérivée fonctionnelle Ui(^) sont des fonctions de période i . Si Ton ne suppose pas ces fonctions continues, cela ne restreint nullement les valeurs qu'elles peuvent prendre dans l'intervalle considéré (0,1). Mais, si on les suppose continues ainsi que leurs dérivées jusqu'à l'ordre />, il faut que l'on ait, en ce qui concerne x{t) par exeuq^le,
De cette manière, nous pourrons exposer la théorie générale en la dégageant des difficultés accessoires qui résultent, soit de l'impossibilité d'effectuer des intégrations par parties sans considérer spécialement les limites de variation de i, soit, si l'on étudie les fonctions de lignes, de l'impossibilité de choisir un paramètre aussi commode que l'argument t d'une fonction x{t).
11 sera ensuite facile de voir comment la théorie générale doit être modifiée si l'on veut l'appliquer, soit à l'étude des fonctionnelles dépendant d'une fonction non périodique, soitàl'étude des fonctions de lignes.
