LE POINT DE VUE LOGIQUE

61. Fonctionnelles entières et homogènes du second degré. — Comme au Chapitre précédent, nous pouvons notis placer soit au point de vue logique, soit au point de vue pratique. Nous insisterons moins sur le premier point de vue que nous ne l'avons fait pour l'étude de la variation première; nous insisterons surtout sur le second de manière à préciser la définition des dérivées fonctionnelles secondes qui nous paraît devoir être adoptée.

Suivant le point de vue de M. Fréchet, la notion de variation seconde est liée à celle de fonctionnelle du second degré comme la notion de variation première est liée à celle de fonctionnelle linéaire.

On dit qu'une fonctionnelle U dépendant d'une fonction oc (t) est entière et homogène du second degré si, lorsque x{t) est de la

forme

x{t) = \xx{t) -{- [xx^it)^

ou A

et [ji sont des constantes, U est un polynôme homogène du

second deeré en A et a, soit de la forme

(i) U = AX2-i-'2BX.JH-G;ji2.

Il vient alors, en doniiani à A et |jl des valeurs particulières

(o ou i),

U|fr,(OJj-A,

V\\x,{t)]\ = C, U| [0^,(0 + ^2(^)11 - A + 2B + G, d'où l'on lire

= 2y [:r,(^j, .TàCOll- Cette quantité est une fonctionnelle symétrique de Xi(t) el r^iO' évidemment bilinéaire, c'est-à-dire linéaire par rapport à chacune de ces fonctions. Sa connaissance équivaut à celle de l , puixjiH- \ est exprimé à Taide de U par la formule (2), et qu'inverscmcnl on a

(3) ( \\.rff)]\ = \\[.T(l), .r(0]L

J.1 suffît alors d'appli([uer à \ les résultats des n"' 47 et 48, cl d'une manière générale les difl'crenls résultats généralisant ceux relatifs aux fonctio.nnelles linéaires, pour obtenir les résultats correspondants relatifs aux fonctionnelles entières et homogènes du second degré. Ainsi, la formule de M. Hadamard se généralise par la formule

(4) lJ\[a^(t)]\=\im f I F(s,t,ix)x(s)x(t).

On généralise de même la formule de M. Riesz relative aux fonctionnelles définies dans le champ des fonctions continues. On peut aussi écrire, soil -

(5) U li-^(Or] = f f 3c{s)x{t)d^\

l'intégrale douljle élaiit étendue au carré o «< s < i , o << / \ . vV <l> étant une fonctionnelle additive à variation bornée, soil

5') U I [x{t)] \ =^ f f x{s)x{t)dsdt'^{s. t).

On peut, ce que nous ferons dans la suite, snpj)o>(r '^( .v, /) symé-

rrique, <:^ar dans le cas coiilrairc on peut remplacer '^(a", /) par

-[c2{y, ;) -f- '.p( ^, 5)], ce qui ne change pas la valeiii" d(^ C La répai-

tilion de niasses liées à la fonclionnelle 4> est alors sjniélriquc par rapport à la droite v — - t. La notion de fonctionnelle entière et bomogçne du second degré, définie et continue dans le champ des fonctions continues dans rinlervalle (o, i), est donc liée à la notion d'une répartition, à l'intérieur du cane* o <- 5 << i , o << / < i , et symétriquement par rapport à la droite .s = /, de masses dont les valeurs absolues aient une somme finie.

La même représentation convient a forlioii aux fonctionnelles définies et continues dans le cluimp des fonctions de carrés sommables ; mais, dans ce cas,, la répartition de masses est soumise à certaines restrielions (roi/- n" 48). Rappelons que, si cette répartition ne conqorend que des masses réparties dans des aires et de densité superficielle sommable, et des masses réparties sur des lignes et de densité sommable, de sorte que la formule (5) se réduit à des quadratures ordinaires, ces restrictions consistent en ce que les lignes considérées ne doivent comprendre aucune portion finie d^me parallèle aux axes.

Remarquons enfin, par une extension évidente du n^ 39, que pour les fonctionnelles entières et homogènes du second degré (et aussi pour les fonctionnelles homogènes de degré quelconque ), cela revient au même de dire qu'elles sont définies dans tout champ fonctionnel fini, ou qu'elles v sont continues.

6l2. Définition de la variation seconde. — ]\ous pouvons maintenant, avec M. bréchet, définir la variation seconde. Une fonctionnelle Ude x(l) admet une variation seconde o-l au sens de M. Fréchet, si o-L) est une fonctionnelle entière et homogène du second degi-é, et si le rapport

U |[:r-f-oirj| — IJ |[:r||— oU— - 5Uj

fii-

m désignant le module fonctionnel de qx^ tend vers zéro avec ///. Si o-L existe, cette variation peut être définie par la foj-mule

8o PltKMlÈRE l'ARTli:. — LKS I ONDEMENTS 1»L CALCUL lOiXOTlONNEI..

Mais celle expression, que nous appellerons variation seconde au sens de Galeaux, peut ne pas être une variation au sens de M. Fréchel. Les circonstances déjà indicpiées à propos des variations premières peuvent également se j)roduire ici. L'expression (-) peut être une fonctionnelle de ûx, homogène du second degré, mais non entière. D'autre part, ôj:* étant de la forme \f(t). elle peut être telle cjue le rapport (6) tende vers zéro avec A, mais non uniformément, lorscpie f(l) est une fonction quelconque de module fonctionnel égal à i.

Nous dirons dans la suite qu'une fonctionnelle L, admettant une variation première 8U, admet une variation seconde si l'expression (7) existe et est entière et homogène de degré 2 en ojc.

63. Minimum d'une fonctionnelle. — Si, pour une fonction déterminée ^o(^), oLi est nul et o-l positif pour toutes les déterminations de 0:r(/), il est naturel de se demander si la fonctionnelle L admet un minimum pour la détermination considérée de .r(/).

Pour simplifier l'écriture, nous supposerons oc^y( t) ^= o^ et nous écrirons x{t) au lieu de ùx(t). Nous appellerons /• le module fonctionnel de cette fonction.

On peut énoncer le résultat suivant : S'il existe un nombre positif k tel que ô-L soit supérieur à kr- pour toutes les déterminations de x(t), et si o-l est une variation seconde au sens de M. Fréchet^ la fonctionnelle l admet un minimum pour x{l) = o.

En effet, d'après la définition de la variation seconde, l'expression

ôL 0-^ l l — Uo 3-

tend vers zéiN3 avec /'. Il existe donc un nombre r^ tel que, pour r<iri, elle soit inférieure en module à -)-• On a alors

Pour que, ôL étant nul et 0- 1 positif, il n'y ail pas minimum, il faut donc, ou bien que le nombre k n'existe pas, ou bien que ô^LI, défini par la formule (7), ne soit pas une difterentielle au sens de M. Fréchel. Nous allons donner des exemples des deux circonstances,

CHAP. V. — VARIATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. 8l

en prenant pour /• la définition normale qui résulte de la formule

r2= / x^{t)dt.

64. La première circonstance peut se présenter, non seulement dans le calcul fonctionnel, mais dans l'étude des fonctions de deux variables seulement. M. Hadamard a signalé l'exemple de la fonction

Il = {y — x~) {y — 2 37^),

qui n'est pas minima à l'origine bien que les termes du second degré soient positifs. Cela tient à ce que ces termes se réduisent à y'^ et peuvent être d'un ordre infinitésimal supérieur au second si y est très petit par rapport à x\ il n'existe aucun nombre k ie\ que ces termes soient supérieurs à k{x--\-y'^).

Pour les fonctions de a variables, le nombre k existe nécessairement si les termes du second degré sont de la forme

(lo) XiPf + X^P.^-^... X«P,^,

les A étant tous positifs, et P désignant des fonctions linéaires indépendantes.

Dans le calcul fonctionnel, des circonstances un peu plus compliquées peuvent se présenter. Considérons, par exemple, la fonctionnelle du second degré

U2= Xiaf + . . .-f- X„a2-h. . ., en posant

a,i^=sj'i I x{t) s'mnr.t dt.

La formule

« f + rt I + . . . -I- a 2 H- . . . = /'S

montre que les a ne peuvent être tous nuls sans que r soit nul, et sont à ce point de vue analogues aux P de la formule (lo). Si les A

ont une limite inférieure positive K, —;- est nécessairement ^ K, et,

comme S-Uo^^ 2U2, on peut prendre /r = :>.K. Mais, les À étant en nombre infini, peuvent être tous positifs sans admettre de limite inférieure positive, et comme, pour

x{t) = sinnr.f,

le rapport — ^ se réduit à 2 A,/, le nombre A n'existe pas. Prenons,

pour fixer les idées, \n= — > et considérons Ici fonctionnelle

qui a même différentielle seconde que U. Je dis qu'elle n'admet pas un minimum pour x{t) ■= o. Nous n'avons pour le voir qu'à considérer les fonctions

dont lés modules fonctionnels

tendent vers zéro. Pour ces fonctions, U prend les valeurs

n(log/4)2 {\ogn)''

qui sont négatives pour n assez grand et^ par suite, tendent vers zéro en croissant ( ' ).

60. Considérons maintenant la fonctionnelle r et ^ft ayant la même signification que ci-dessus, c étant un coef-

(^) Voir aussi r(;xeiM])le de Schcf'n'ci-. cité par M.lTadainard {Leçons sur le calcul des variations. ri"4l). Il s'cxplicjuc d'uiu^ maiiirie loul à fait analogue. Au lieu d'èire comme la foiu lion l 2 du texte la somme d'une inliniit' dcnombrable de (aiiés dont les coeffu ients n'admettent i)as de limite inférieure, la |)arlie du second degré de la fonctionnelle considéiée pai- SchcelTcr est l'iiitéi^i'ale

{t — -y x'-{t) dt.

dans laquelle le eoeHic iciit [t — ~y n'admet pas non ])lus de 'limite infc'uieure positive.

(îcieiït positif etlesX« une suite de nombres positifs tendant vers zéro. On vérifie sans peine que si

^(t) étant une fonction déterminée et X tendant vers zéro, le second terme de U est infiniment petit par rapport au premier, de sorte que l'expression o-U définie par la formule (8) existe et a la valeur 2cr^. Mais, malgré cela, U n'admet de minimum pour x{t) = o que si c^i. Si c<^i, il suffit pour voir que U n'admet pas de minimum pour x(t) ^= o^ de donner k x(t) les valeurs

^«(^) = /^X^t sinn-jr^ (/i = i, 2, . . . , x),

de modules fonctionnels X^t tendant vers zéro. Les valeurs correspondantes de U,

me -)?//■),

sont négatives pour 7i assez grand et tendent vers zéro en croissant. Il V a lieu de remarquer que, si les A/i décroissent assez rapidement, si par exemple

celte circonstance est réalisée avec des fonctions qui, non seulement tendent uniformément vers zéro, mais dont toutes les dérivées tendent uniformément vers zéro. On voit donc que ô^U existe, sans être une différentielle seconde au sens de M. Fréchet, et que cette circonstance est liée au fait que x(t)=zo n'est pas un minimum pour la fonctionnelle L.