LE POINT DE VUE PRATIQUE

66. Fonctionnelles continues dans le champ des fonctions de carrés sommables. — Ce sont celles que nous considérerons principalement. Nous avons déjà remarqué qu'en pratique, il n'y a guère intérêt à introduire d'intégrales de Stieltjes dans les formules. Cette introduction, nécessaire évidemment si l'on veut obtenir une représentation générale des fonctionnelles considérées, ne fait en général que compliquer les calculs sans en changer essentiellement les conclusions. Aussi, lorsque nous considérerons des fonctionnelles entières et.

homogènes du second degré, les supposerons-nous de la forme

(il) ^'=/ f "fi^^ h)^it)^(ii)dtdti-h f fit)a^Hj)de

g{a)x[t{'x)]x[t^{cA)] dr^.

Dans cette expression, l'intégrale double correspond à des masses réparties dans le carré o<C^<Ci, 0<<^,<<i, avec une densité superficielle cp(^, i,) de carré sommable; la première intégrale simple correspond à des masses réparties sur la diagonale t=^t^ avec une densité linéaire y (^) mesurable et bornée; les autres intégrales simples, réunies sous le signe S, correspondent à des masses réparties sur d'autres lignes C, intérieures au même carré, et ne pouvant comprendre aucun segment de droite parallèle aux axes. L'ensemble des masses peut être supposé réparti symétriquement par rapport à la diagonale ^ = ^,, ce qui exige en particulier que cp(^, t^) soit symétrique en t et /< ; cela ne restreint pas la généralité.

Parmi ces fonctionnelles, il nous arrivera de considérer spécialement celles du type

{il) . U=r f ^{t,h)x{t)x{t,)dtdty-^ f f{t)xHt)

dt.

que nous appellerons /o/ic^io/ineZ/e^ normales du second degré. Les autres seront dites fonctionnelles générciles., entières et homogènes du second degré.

Pour montrer la raison de cette distinction, considérons l'expression

g{t)x{t)x{i — t)dt.

C'est une fonctionnelle singulière, correspondant à des masses réparties sur la droite t-\-t^=^ i. On remarque que sa définition introduit une solidarité entre les valeurs de x pour des points symétriques l'un de l'autre par rapport au milieu de l'intervalle (o, i). La dérivée fonctionnelle

^'x=[ffit)-rg{l-t)]x{x-t)

relative au point t dépend spécialement de la valeur de x au point I — t.

Une telle solidarité entre deux points distincts n'existe pas dans les fonctionnelles que les problèmes physiques conduisent à considérer. Ces fonctionnelles seront donc normales.

Au point de vue du développement de la théorie mathématique, à rexpression (,ii) qui déjà n'était pas tout à fait générale, on peut souvent, sans inconvénient, substituer l'expression (12). La forme plus simple de cette expression facilite le développement de la théorie sans risquer de la conduire dans une fausse direction, comme ce serait le cas, ainsi que nous le remarquerons plus loin, si l'on voulait réduire cette expression à l'intégrale double. Les résultats, une fois obtenus, peuvent ensuite être vérifiés dans le cas général.

67. Le passage du fini à l'infini. — Les fonctionnelles homogènes et entières du second degré peuvent, si elles sont continues, être obtenues par la méthode du passage du fini à l'infini.

Pour une fonction simple d^ ordre n, c'est-à-dire ayant une valeur

constante x; dans chacun des intervalles ( — — > - ) ? la fonctionnelle

considérée prend la forme .

iz=n i—-n

(i3) w„(a7i, ^2, ..., .^«) =2 S ^ij^i^j-

Or, on peut trouver une fonction simple d'ordre n approchant en moyenne autant qu'on veut de toute fonction .r(^) de carré sommable. Le point de l'espace fonctionnel représentant x{t') est donc la limite de points représentant des fonctions simples d'ordres croissants, et, en raison de la continuité, la fonctionnelle \2 est la limite des valeurs correspondantes de w,,.

Les nombres xi sont assujettis à la condition que - ^x\ ait une limite déterminée, c'est-à-dire que les quantités x'\ et xiXj sont en moyenne finies. L'expression (i3) restera alors finie si "^ci.j est finie. Il suffit pour cela que les coefficients c/y soient de l'ordre de grandeur de — ; s'il y en a de l'ordre de grandeur de -» il faut que leur nombre soit de l'ordre de grandeur de /^.

L'ensemble des termes qui sont de l'ordre de grandeur de — ^ conduisent à la limite à l'intégrale double des expressions ( 1 1 ) et ( 1 2) . Ceux qui sont de l'ordre de grandeur de -> si leur nombre est de

l'ordre de grandeur de -? conduisent à des intégrales simples. Il est particulièrement naturel de s'attendre à ce que les coefficients de œ^ jouent un rôle particulier et soient de l'ordre de grandeur de -• S'ils sont seuls dans ce cas, la fonctionnelle obtenue est normale.

68. Les dérivées fonctionnelles secondes. — Passant de la notion de fonctionnelle du second degré à celle de variation seconde, considérons une fonctionnelle U ayant une variation seconde de la forme normale

(i4) o^^V== f f(t)(oxydt-^ f f ^{t, to

Ix hxx dt dtx.

en écrivant, pour simplifier, x et x^ au lieu de x{^t) et xij^). Cette variation apparaît comme étant la limite d'une différentielle seconde

les coefficients en étant de l'ordre de —■> et les autres coefficients c/ /,

si la fonction cp(^, ^,) est bornée, étant de l'ordre de — • Supposons d'ailleurs

ce qui ne restreint en rien la généralité. On a alors

0^ Un à^- Un

''' ~ àxf ' ''^ ~ âx,- dXj

Passant à la limite, nous appellerons dérwées fonctionnelles secondes de U, et désignerons par U".2 et U^.,.^ les fonctions

(r6) U^ = /(0, UL,= ?(^, ^.)-

Ce serait une erreur, ou du moins une notation risquant de conduire à des erreurs, de désigner par U%, et de considérer comme généralisant la dérivée -pf ' la fonction cp(^, ^), au lieu de/(0, ainsi qu'on serait conduit à le faire si l'on n'introduisait pas systématiquement l'intégrale simple dans l'expression d'une* fonctionnelle normale du second degré.

CHAP. V. — VARIATION SKGONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRE. tS"

Ainsi, nous verrons dans la troisième Partie que la théorie de l'équation

(17) f f(t)dt = o

généralise d'une manière remarquable la théorie de l'équation de Laplace. Il n'en est pas de même de l'équation

(18} / o{t, t)dt = 0,

que le point de vue indiqué conduirait à considérer comme la généralisation naturelle de l'équation de Laplace.

On peut même dire que cette équation ne paraît pas susceptible de présenter de l'intérêt. La fonction C2(/', ^,), qui intervient dans une intégrale double, est essentiellement une fonction mesurable superficiellement. On peut changer sa valeur sur la droite t =^ t^ sans rien changer d'essentiel; même si Ton suppose la fonction cp(^, t^) continue, on peut s'arranger pour que le changement ne porte que sur une aire aussi petite que l'on veut.

On peut, de cette remarque, déduire la conséquence suivante : de l'équation (18) ou, d'une manière générale, de toute équation faisant intervenir spécialement les valeurs de cp(^, ^, ) le long d'une courbe, on ne peut déduire aucune conséquence relative à la fonctionnelle U vérifiant cette équation et vérifiable par un calcul numérique approché, portant sur la fonctionnelle elle-même et non sur ses dérivées. En d'autres termes, une fonctionnelle continue quelconque, donnée dans un domaine fini, peut être approchée autant qu'on veut dans tout ce domaine par une solution de l'équation considérée.

69. Les fonctionnelles dont la variation seconde est normale jouissent de cette propriété que la variation seconde est définie par la donnée des dérivées fonctionnelles secondes. C'est de là que vient leur intérêt.

Dans le cas général, si la donnée des dérivées fonctionnelles secondes ne suffit pas pour définir 8-L, il faut remarquer qu'elles sont tout de même bien définies. Il peut exister des masses réparties sur des lignes autres que la droite t=^t^] cela n'empêche pas que la densité superficielle U'^,.^ est bien définie, sauf peut-être pour les

points d'un ensemble de mesure superficielle nulle, ce qui est sans importance, et, si elle est continue, elle est définie partout; de même U'^s, qui est au facteur y/2 près la densité linéaire sur la droite t = t^, est toujours bien définie.

D'ailleurs, les propriétés résultant d'équations aux dérivées fonctionnelles telles que Féquation de Laplace (17) ou l'équation (19) cidessous, plus faciles à vérifier dans le cas des fonctionnelles normales, s'étendent au cas général, comme nous le verrons au Chapitre suivant et dans la troisième Partie.

70. Les fonctionnelles de Gâteaux. - Nous désignerons ainsi les fonctionnelles pour lesquelles

(19) Uxî=0.

Si elles sont normales et du second degré, leur expression se réduit alors à l'intégrale double

(•?0) f f cp(^, fi)T(ti)dtdti,

c'est-à-dire que la répartition de masses liée à cette fonctionnelle ne comprend que des masses réparties superficiellement.

On pourrait penser que les propriétés principales des fonctionnelles (20), au point de vue de leur continuité, tiennent à Pabsence de masses réparties sur des lignes. Il n'en est rien, et nous verrons au Chapitre suivant une propriété considérée par Gâteaux, qui appartient à l'intégrale (20), mais qui caractérise non les fonctionnelles pour lesquelles il n'y a pas de masses réparties sur des lignes, mais celles pour lesquelles il n'y en a pas sur la droite ^ = ^,, c'est-à-dire les fonctionnelles de Gâteaux.

On s'explique aisément cette circonstance par la métliode du passage du fini à l'infini. Une fonctionnelle de Gâteaux, entière et homogène du second degré, est la limite d'une fonction

dans laquelle les termes carrés CiiXj sont très petits par rapport à -> de sorte que leur somme est infiniment petite. On peut les négliger

sans rien changer à la limite. La fonctionnelle de Gâteaux, du moins le cas du second degré que nous considérons ici, apparaît alors comme limite d'une fonction Un{x\.,x<2i . . -, x,i) linéaire par rapport à chacune des variables Xf. C'est cette propriété cjui conduit de la manière la plus intuitive aux principales propriétés des fonctionnelles de Gâteaux.

Pour cette raison, j'avais d'abord désigné ces fonctionnelles sous le nom de fonctionnelles maltilinéaires. J'ai adopté le nom de fonctioiiJielles de Gâteaux^ depuis que j'ai remarqué leur identité avec celles qui jouissent d'une propriété considérée par Gâteaux, du moins dans le cas où les dérivées fonctionnelles existent; la propriété en question ne fait pas, en effet, intervenir les dérivées fonctionnelles. Nous reviendrons sur cette question au Chapitre suivant, à propos des fonctionnelles de degré quelconque.

71. Variation de la dérivée fonctionnelle seconde. — Il j a naturellement un lien entre la variation seconde et la variation de la dérivée fonctionnelle première.

Appliquons la méthode du passage du fini à l'infini, en nous plaçant dans le cas où la variation seconde a la forme normale. Les

coefficients c, i sont alors seuls de l'ordre de ofrandeur de -, et la for-

mule

ci —— = - — - — ^ri -+-... H- - — - — dxn dxi ôxiOxi oxidXfi

donne à la limite

(9.1) 8Uj.= Uj'2 0^ H- / \j"xx\^0Cx dt]^

U'^.^.^ étant une fonction symétrique de t ei t^.

On retrouve la forme considérée au n° 51, comme conséquence de l'hypothèse que U^ soit continue, et dépende spécialement du point t et de ce point seulement. On devait s'y attendre, car la continuité de U^ dans le champ des fonctions de carrés sommables résulte de l'existence de S^U, et dire qne U^ dépend spécialement du point ^, et de ce point seulement, c'est évidemment la même chose que de dire que dans la répartition de masses liée à S^U, il y â des masses situées sur la droite t=^t^^ mais qu'il n'y en a sur aucune autre ligne.

Si U^^ dépend spécialement d'un point autre que le point /, de l'expression deôLl^, en difterentiant ôU, on*déduit sans peine une expression de o-U qui est de la forme générale ( i ij.

72. Cas des fonctionnelles continues d'ordre p. — Dans les cas plus généraux, oU'^, est toujours une fonctionnelle linéaire de o.:r, dont la forme dépend de t. Nous emploierons généralement, pour désigner une telle expression, la notation

(22) oU;,. = E(oa7).

Considérons le cas où U^ est en moyenne continue d'ordre/?, et ne dépend spécialement d'aucun autre point cjue le point t. En admettant, pour simplifier l'écriture, que U^,,.^ soit de carré sommable, même dans le voisinage du point ^ = ^,, où il pourrait ne pas en être ainsi {voif n" o2), ôU^ a une expression de la forme

(-23) ôU^= Ao 037 + Al o^'-h . . .-I- A/; ôa:'/^^ -h / r^{t, t^)lxx dti.

Les coefficients A, sont naturellement des fonctions mesurables bornées, et 'f(^, t^) est une fonction de carré sommable. Mais ces quantités doivent vérifier d'autres conditions.

Supposons que la forme de x{t) dépende non d'un paramètre X, mais de deux paramètres A et |Ji, et, pour éviter d'avoir à faire figurer ces paramètres dans les formules, posons

On doit avoir

(24) oôi U = Oi oU,

ce qui impose quelques restrictions à l'expression E(o^). Lorsque nous aurons précisé ces restrictions, nous formerons 8-L. La formule (24), développée, s'écrit

C [oia7E(o^) H- U^ôô,.rJ ^/^ = /^ [o^E(Sia7) H- U'^ 81 oa

ou, puisque 88,^=0, 8:r,

(2.5)' \ OixE{dx)dt=j oxE{oix)dt.

dt.

Cette formule doit être vérifiée quelles que soient les fonctions ox et8:r,. Cela revient à dire que l'expression E(ô^) est identique à son adjointe. Nous allons établir quelques propriétés des expressions adjointes. Nous reviendrons ensuite au problème qui nous occupe.

73. Les expressions adjointes ( ' ). — Nous dirons que deux expressions E(^) et C{x)^ fonctionnelles linéaires de x dont la forme dépende de ^, sont adjointes^ si Ton a

(26) r y(t)E(a:)dt= j x(i)C(y)dt,

X el y étant des fonctions de t quelconques, ou assujetties seulement aux conditions d'être continues, d'avoir des dérivées .continues et d'être périodiques de période i .

Une fonctionnelle linéaire ne peut admettre qu'une adjointe. En effet, si C(x) et ^^{x) sont adjointes à la même expression E(^)^ on a, quelle que soit la fonction x{t)^

x{t)\C{y)-i:,{y)]dt

et, par suite,

C{y) = C,iy)-

De la formule de définition (26) résulte immédiatement le théorème suivant, que nous utiliserons souvent dans la suite.

Si E(^) et F(:r) admettent respectivement pour adjointes C{x) et #(jc), E[F(.^)] admet pour adjointe ^[vl^(^)]. Un énoncé analogue s'applique à la composition de plus de deux opérations fonctionnelles linéaires. En particulier, si E(^) est sa propre adjointe, il en est de même de F| E[.?(:r)] j.

Comme l'opération f{t)x est évidemment sa propre adjointe, el

que l'opération —r-. , d'après la formule d'intégration par parties,

dti^

(') Voir Paul Lévy, Sur V intégration des équations aux dérivées fonctionnelles partielles {Rendiconti del Circolo Mateniatico di Palermo^ i9i4j 1"" semesti-e, § 2).

{x et y étant périodiques), admet pour adjointe ( — \ f -r-. ^ il résulte

du théorème précédent sur la composition des opérations fonctionnelles Hnéaires que l'expression

€St sa propre adjointe, et que l'expression

•{28) Aorr(0-H Ala7'(0^-.. •+ A;,^(/>^tO>

Aq, a, , . . . , A^ étant des fonctions de ^, admet comme adjointe

<.9) Aox(0-^^+...H-(-.)''-^-

La condition pour que l'expression (28) soit identique à son adjointe s'exprime alors par un système d'équations différentielles vérifiées par les fonctions A, que l'on obtient é"n égalant les coefficients de chacune des dérivées de jc dans les expressions (28) et (29). La première de ces équations, obtenue en égalant les coefficients de œ^P\ est

Elle nous montre que p est pair, ou bien A^ nul. En retranchant •de (28) une expression de la forme (2^), on peut donc faire disparaître la dérivée de l'ordre le plus élevé. En recommençant là même opération, on fera disparaître tous les termes de l'expression (28). On voit donc que la condition nécessaire et suffisante pour que cette expression soit identique à son adjointe est qu'elle soit une somme de termes de la forme (2-).

D'autre part, il résulte encore de la formule de définition (26) que l'expression

cp(^, f) Sa^i dti

admet pour adjointe

/ o{ti, f ) O.Ti dti.

Elles sont identiques si 9 est une fonction symétrique de ces deux arguments.

CHAP. V. ■— VARIATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. gi

Considérons enfin l'expression plus générale

oxi (it\

Elle ne peut être nulle, quelle que soit la fonction x^ que si l'intégrale et les autres ternies sont nuls séparément. Elle ne peut de même être identique à son adjointe que si les deux fonctionnelles définies par l'intégrale et par les autres termes jouissent séparément de cette propriété. Il faut et il suffit pour cela que la fonction ^[t, t^) soit symétrique en t et /, et que les termes dépendant spécialement du point t soient une somme d'expressions de la forme (27).

7i. Application aux dérivées fonctionnelles. — Appliquons ces résultats à l'expression (28), qui doit être une fonctionnelle linéaire de ^x identique à son adjointe. Il vient, en posant p = 2^,

(3o) 8uL = /o(OS^-^[/i(0^^'] + -..+ (-i)''^[A(Oô>^'^n

(p(^, ?i ) Ô^Ti dtx,

la fonction cp(^, t^ ) étant symétrique en ^ et /,.

Si l'on cherche à définir une fonctionnelle inconnue L d'après la donnée de sa dérivée fonctionnelle U^, il faut donc, pour que le problème soit possible, que cU'^ soit de la forme (3o). A cette condition, la condition (24) sera vérifiée quelles que soient les fonctions hx et8,:r, et l'on peut dire que oU est une différentielle exacte. On voit que les conditions que nous venons de former jouent dans la théorie des équations aux dérivées fonctionnelles le même rôle que

la condition

()'- a (P u dx ôy ôy dx

dans la théorie de l'équation aux difî'érentielles totales

du = V dx H- Q dy.

Ti. Nous pouvons maintenant former 3- U. En difi'érentiant ôU, il vient

U= f (ùlj'^ùx-^lj'^5^x)dt.

La fonction x étant l'argument de la fonctionnelle U, analogue à la variable indépendante d'une fonction ordinaire, nous pouvons supposer û-^ = o. Tenant compte alors de la formule (3o) et rendant rintégrale simple symétrique par une intégration par parties, il vient

(3i) o2U =: l [f^{t)ùx^-^fx{t)ox'-^-^...-^fg{t){^x^9)Y]dt

'( t, tx )'ùx ôa^i dt dtx. ,

ff,.

Telle est la forme de la variation seconde d'une fonctionnelle, lorsque la variation de U'^ est de la forme (23). On remarque, d'après cette expression, que 8-U, considéré comme dépendant de ùx^ a une continuité d'ordre q] la fonctionnelle U ne peut donc avoir qu'une continuité d'ordre q] elle aura en général cette continuité, tandis que L ^. a une continuité d'ordre 'iq. La dérivée fonctionnelle d'une fonctionnelle continue d'ordre q est doue seulement continue d'ordre ^iq.