GÉNÉRALISATIONS DIVERSES

7o. Fonctions d'une ligne plane. — Il j aurait lieu de reprendre, au point de vue des variations secondes, les différentes généralisations étudiées Chapitre IV. Nous nous contenterons d'examiner celles qui nous serviront dans les applications que nous avons en vue.

Soit d'abord <1> une fonction d'une ligne plane fermée C, ayant pour variation première, avec les notations de M. Hadamard (n" 59),

o<i> = / 4>', o/i ds.

Pour former la variation de cette expression, il faut préciser le déplacement du point M de la courbe correspondant à l'élément ds lorsque cette courbe se déforme. Nous supposerons ce déplacement normal à la courbe. M^\^ a alors un sens bien défini et est une fonction linéaire de ô/z, que nous désignerons par

et Ton voit aisément que la variation de ds est

0 ds = — k on ds.

CHAP. V. — VAIUATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. gS

k étant la courbure de la ligne C en M, comptée positivement dans le même sens que on. 11 vient alors

(3'2) §5i<ï>= / [E(S/i) ôi/i — A-(I>^^ S/« ô, Ai + *'„ SSjn] <i5.

Il j a lieu de se demander si la signification de ùZ^n ne dépend pas de Tordre des symboles 8 et o,. Il est facile de s'assurer qu'il n'en est rien, Il suffit de prendre pour <I> l'intégrale d'une fonction de point/(M) dans la région intérieure à C; la direction positive de la normale étant supposée dirigée vers l'extérieur, on a

et^ par suite, la formule (3i) s'écrit

8ôi*= j \ f^-^ — /r/(M)lôAiô,/i+/(M)oôi/i|«'5.

Il en résulte que

ôôi4>8i ô* = o = ff(M){Qùin — 8i on)ds. » c

Cette formule étant vérifiée quelle que soit la fonction /(M), on a So, A^ =: 8, 0/?, c'est-à-dire que la signification de S5j /2 est indépendante de Tordre des opérations 5 et B,. Cela n'était nullement évident a priori, comme on s'en rend compte en observant qu'il n'en est plus de même po.ur une variation troisième oo^ô^/?, et que ce n'est pas cette quantité, mais la différence 60,80^ — ùJiOi n' 62/1' (8|/i' etâo/i' désignant les dérivées de rJ^7l et 02^1 par rapport à 5), qui est indépendante de Tordre des opérations 0, cn et 02. On l'établit aisément en appliquant à la fonction ù^n le résultat que nous obtiendrons n«77. -

Revenant alors à la formule (Sa), nous voyons que la condition nécessaire et suffisante pour que 0^ soit une différentielle exacte., c'est-à-dire pour que 8o,<lJ soit indépendant de l'ordre des opérations S et 5,, est que rexpression E{on) soit identique à son adjointe.

76. Fonctions d'une ligne plane et d'un point. — Considérons d'abord une fonction u>^ dépendant d'un contour C et du point A et

définie aussi bien quand A est sur le contour G ou n'est pas sur ce contour. Lorsque G se déforme, A restant fixe, la variation de w^ est une fonctionnelle linéaire de un, que nous représenterons par H,(S«).

Si maintenant nous considérons la valeur de a en un point M de G qui, lorsque ce contour se déforme, se déplace orthogonalement à lui en restant sur lui, la variation de u^i proviendra, non seulement de la .variation de forme de la fonction u due à la déformation de G, mais aussi au déplacement du point M, et l'on aura

(33) ô«M= HM(oAi) -h -^ 5/1.

Si nous considérons maintenant la dérivée normale -7- ou la déri-

aii

vée w'= -T- relative à un déplacement de M sur G, ou une dérivée

d'ordre quelconque de u par rapport aux coordonnées de M dans le système d'axes constitués par la tangente et la normale à G au point particulier considéré, la variation d'une telle dérivée comprendra trois termes, l'un dû à la variation de forme de la fonction w, le second dû au déplacement du point M, le troisième dû à ce que la direction de la tangente à G en M a varié. L'angle dont cette direction

a varié a la valeur on =z — — , si l'on compte les angles positivement

dans le sens qui permet d'amener la direction positive de la tangente (celle qui correspond aux s croissants) sur la direction positive de la normale par une rotation d'un an^le droit. On a ainsi

^ du d ^ d~u ^ du ^ ,