y- — —- liM( on) H T— on y- on
ds dn dn- ds
.du d j. ,^ d-ll r, du rs ,
0—7- = -7- H>i(8/i ) -+- - — — tn -f- -7— ô/i . ds ds dt du dn
Dans cette dernière formiile, nous avons désierné par -; — — la dérivée
' ^ ^ dt dn
de u dans le système d'axe constitué par la tangente et la normale à G en M. Gette quantité diffère de -v- -7- parce que, lorsqu'on se déplace
sur G de l'arc ds^ la variation de -7— provient non seulement du déplacement du point M, mais de ce que la tangente à la courbe a tourné
d du
ds du
dtdn
dHi
ds^ ~
df^
(l'un angle k ds. Il en est de même de la variation de -7-? et l'on a
^ ds
du
ds du dn
77. Supposons en particulier que la forme de la fonction u^ soit indépendante de la ligne G. Les formules (33) et (34) se simplifient, et l'on peut aisément former la variation seconde de Wji, qui a la valeur
ôoi wji = -r- OUI n H -, — on ùiTI — u on Oi n.
dn dn'^
De cette formule, et de ce que nous savons déjà sur le symbole oô, /?, résidte que le premier membre change lorsqu'on intervertit les symboles 0 et 8,, mais qu'on peut former une quantité qui ne change pas, soit par exemple
(36) ôoi Mji+ if' ÔAi' ûi/i = Oi SwmH- w' Si /i on.
Cette circonstance pouvait être prévue autrement. Appelons toujours X et iJL les deux paramètres aux variations infiniment petites desquels correspondent les variations 3 et Oi. Si l'on fait varier X et |JL des quantités infiniment petites d\ et diK^ le point M, se déplaçant normalement à G, viendra occuper deux positions différentes M, et M2 suivant que l'on aura fait varier d'abord A, et ensuite pi, ou inversement. La fonction u prendra alors en ces points des valeurs différant de la quantité
( 37 ) f^Mi — «'M, = Ml M2 u' =^ ÔC 1 U\i — 81 8w.M.
La comparaison de cette formule et de la formule (36) montre que
(38) MiM2= 8n8i/i'— 5in5/i'.
Le raisonnement qui vient de nous conduire à la formule (3-) s'applique, non seulement à la fonction particulière u que nous venons de considérer, mais à n'importe quelle fonction d'une ligne G et d'un point M de cette ligne, sans que cette fonction ait besoin d'être définie pour d'autres points que ceux de cette ligne. La for-
mule (36), c{ui résulte immédiatement des formules (3") et (38), s'applique donc à une telle fonction.
Par suite, la condition nécessaire et suffisante pour que ouy^soit une différentielle exacte est que V expression 80, u H- m'g/î' o, n ne change pas si Von intervertit V ordre des opérations oeto^.
78. Fonctionnelles dépendant de deux fonctions ou d'une ligne et d'une fonction. — Si une fonctionnelle U dépendant de deux fonctions x{i) eVyit) est telle que
oU= f {\j'^lx-^V'yly)clt,
gU:,= E(8^)-4-F(ôj), 8U;,= #(o^) + G(ôj^),
on voit aisément, en formant l'expression de go,U, que chacune des expressions JL(ox) et G{oy) est sa propre adjointe et que les expressions F{ùy) et ^(^x) sont les adjointes l'une de l'autre.
Les choses sont un peu moins simples dans le cas d'une fonctionnelle <^ dépendant d'une ligne fermée C et d'une fonction u définie en chaque point de cette ligne. La variation première étant de la forme
r>I) = / {4>',t OU H- i^'n on) ds,
si nous voulons mettre en évidence des expressions c|ui soient les adjointes les unes des autres, les variations de 4>',^ et <I>^^ (les points dont dépendent ces fonctions étant toujours supposées avoir leur déplacement normal à G) doivent être mises sous la forme
( rAil^z=E(^u)-+-F{o/i)-i- k^'„ on,
La variation seconde de ^ s'écrit alors (40) ôôi4»= / [E{oii) Biu ~\-F(on)oiU -h ^{ou)oin -h G(^n) ^in]ds -+- j [<ï>)^ (801 z^ 4- m' Sn' 8i/i) + <i>'„(SoiAi — k (in^in)]ds.
La dernière intégrale, d'après ce que nous savons déjà sur GG,/i
el 00, w, ne change pas si l'on intervertit les symboles o et 8,. On a alors l'énoncé suivant :
La condition nécessaire et suffisante pour que o<ï> soit une différentielle exacte^ c'est-à-dire pour cpie ocj^c^i ne change pas si l'on intervertit les symboles o et 8,, est que^ o^\, et o<I>J^ étant mis sous la forme (3()), chacune des expressions E(8î^) et G(o/i) soit-sa propre adfointe et que les expressions ¥(ùn) et 5'(ôm) soient les adjointes V une de Vautre.
Un énoncé analogue s'obtient aisément dans le cas d'une fonctionnelle dépendant d'une ligne G et de plusieurs fonctions définies en chac|ue point de celte ligne.
Nous utiliserons les différents résultats qui précèdent dans la théorie des équations aux dérivées fonctionnelles.
