FONCTIONNELLES DE DEGRÉS QUELCONQUES

Sommaire : Variation d'ordre p et fonctionnelles entières et homogènes de degré/). — La série de Taylor. — Les fonctionnelles homogènes de Gâteaux.

— Les fonctionnelles de Gâteaux non homogènes. — Séries de polynômes.

— Propriétés des fonctionnelles de Gâteaux. — Théorème de Gâteaux : équivalence des propriétés G et Gi. — Comparaison des propriétés G et Gi.

79. Variation d'ordre p et fonctionnelles entières et homog^ènes de degré p. — Les résultats du Chapitre précédent s'étendent aisément aux fonctionnelles de degré quelconque. Une fonctionnelle entière el homogène de degré jr? est une fonctionnelle U \\x\\ telle que, X\ (t) et 0C2 (t) étant des fonctions quelconques, U |[a^i + [J^^^l] soit un polynôme homogène de degré />.

Nous dirons qu'une fonctionnelle U admet une variation ^p\j d'ordre p si l'expression

existe, et est entière et homogène de degré/) en ùoc (si elle existe, elle est évidemment homogène de degré /?, mais peut-être pas entière). JNous dirons que c'est une variation au sens de M. Fréciiet si le rapport

v\[x-^ox]\-u\[x] — au — iô2u— ... — Lg/^u

IlS^II'' tend vers zéro avec || ô:r ||.

On obtient aisément pour les fonctionnelles entières et homogènes de degré p des formules généralisant celles de MM. Hadamard, Fréchet et Riesz. Au point de vue de M. Riesz, la notion d'une telle