CHAP. VI. — FONCTIONNELLES DE DEGBES QUELCONQIES. ICI
fonctionnelle est liée à la notion d'une répartition de masses dans le volume V de l'espace E^, àp dimensions défini par les formules
Nous exclurons, pour obtenir une représentation commode, les répartitions introdtiisant des intégrales de Stieltjes. Nous exclurons aussi les masses finies situées en certains points, cette circonstance n'étant pas compatible avec la continuité dans le champ des fonctions de carrés sommables. Nous ne pouvons donc avoir que des masses réparties, avec une densité sommable, sur des variétés S à A dimensions (h variant de i à/>), que nous représenterons paramétriquement par les formules
ti z= 61 (5i, 52, . . ., S/i),
tp= 9/.(*i, ^2, •• -, sn),
le point 5<, ^25 • • -5 s/i décrivant un certain domaine Si. La fonctionnelle étudiée prend alors la forme
qui correspond, par son degré de généralité, à l'expression (i i) du Chapitre précédent.
Nous appellerons fonctionnelles nojnnales de degré/?, en généralisant la définition du Chapitre précédent, les fonctionnelles dans la définition desquelles n'existent pas, quel que soit h variant de i à/?, de groupes de h points distincts de l'intervalle (0,1) jouant un rôle particulier; c'est-à-dire, d'une manière précise, que les variétés S sur lesquelles sont situées des masses, ne peuvent être définies que par des conditions telles que f/= tj. L'expression d'une fonctionnelle normale est donc
(3) \}„\[x]\=^J J ...J cpa„«„...,a,(^i, ^2, ••., OO
X x^i{ti)x^^{ti).. . a°"'vOi) dti du,. . dtu,
la sommation s'étendant à tous les systèmes de valeurs de a,, a2, . . . , a^
positifs, (.'l de somme p. Ainsi, pour y> = 3, on a
Ti,i,i(''i- ti,h)oo{t^)x{t.)x{h)dt^dt^^dti.
On peut évidemment, sans restreindre la généralité, supposer chacune des fonctions cp symétrique par rapport aux variables ti qui correspondent à des exposants a/ égaux.
Il est facile de former les dérivées fonctionnelles successives d'une fonctionnelle normale, et de vériiier cpe la variation de ces dérivées ne dépend jamais spécialement d'un point autre que ceux relativement auxquels la dérivation a été effectuée. Les dérivées d'ordre p sont indépendantes de ^ (^); on a
A étant un facteur constant facile à former.
Les autres fonctionnelles seront dites fonctionnelles générales. Dans leur définition interviennent certains groupes de h points (A ^/?} jouant des rôles particuliers, et au moins une dérivée fonctionnelle d'ordre inférieure i\ p et relative à A — i points d'un de ces groupes dépend spécialement du dernier point du groupe.
On forme aisément les conditions pour que la fonctionnelle (3) soit définie, et par suite continue (r^o/r remarcjue finale du n'' 61), dans le champ des fonctions de carrés sommables. Pour qu'un terme de l'expression (2) soit défini dans ce champ, il est nécessaire et suffisant que :
i*^ Les nombres a,, as, ... , a h soient tous égaux à i ou 2 ; 2° En désignant par a,, a2, . . . , a/ ceux qui ont la valeur 2, l'intégrale
...a/.C'i- ^2, . . ., th)\^ dti^y dti^. . . . dt,, soit une fonction de ^,, ^27 • • • 5 U mesurable et bornée.
80. La série de Taylor. — Si une fonctionnelle admet des variations de tous les ordres, on peut la représenter par la série de
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Tajlor
(4) U I [;r -i- 0^] I = U 1 [^] I + oU + I52 U H-. . .H- -^ 8/'U +. . . .
Pour obtenir cette formule, et préciser ses conditions d'applicalion, il suffit de remplacer ox par hf(t), et de développer le ])rcmier membre en série suivant les puissances croissantes de X.
<S1. Les fonctionnelles homogènes de Gâteaux. — Cherchons d'abord à quelle condition une fonctionnelle normale de la forme (3) est une fonctionnelle de Gâteaux. On trouve aisément pour la dérivée fonctionnelle d'un de ses termes
U-i-i U ^/+l5 • • • 7 fh)
X i:i'x^i{tj)dtj,
\V désignant un produit étendu aux valeurs i , 2, . . . , ^ — i , i -\- \^ ...^ Jt de l'indice j .
Si l'un des indices a^- n'est pas égal à i , on voit que cette dérivée fonctionnelle dépend spécialement de .x(^), et U^a n'est pas nul. On remarque en effet que, si plusieurs indices a/ sont égaux, les termes correspondants sont égaux, d'après la propriété de symétrie que nous avons supposée vérifiée par la fonction o, et ne peuvent se détruire. La fonctionnelle normale (3) ne peut être une fonctionnelle de Gâteaux que si ai = a^ =...== a^ = i , et par suite li = p. Une fonclionnelle normale de Gâteaux, homogène et de degré/?, est donc du
X ^^(^1)37(^2) • • • oo{ti>)dtx dt«, . . . dtp.
Si l'on passe aux fonctionnelles générale (2), on constate de même aisément que, pour que \j\,. ne dépende pas spécialement de x{t)^ c'est-à-dire que U soit une fonctionnelle de Gâteaux, il faut et ii suffit qu'aucun des facteurs x{^) ne soit élevé au carré, c'est-à-dire que parmi les fonctions ^4, 807 • • • 7 ^p ii i^'j en ait pas deux qui soient égales.
Ainsi la fonctionnelle
dt
n'est pas une fonctionnelle de Gâteaux; pour cette fonctionnelle
n'est pas nul. Par contre,
/ f{t)x{t)x{\ — t)x{cos^Tt)dt.
1 x{t)dt ( f(t, ti)x{ti)x{i — t — ti)dti
sont des fonctionnelles de Gâteaux.
82. Les fonctionnelles de Gâteaux non homogènes. — Cherchons la condition pour qu'une fonctionnelle représentable par une série de Tajlor soit une fonctionnelle de Gâteaux. En écrivant o et \x dans la série de Tajlor au lieu de x et 8:r, cette série fonctionnelle s'écrit
pi
\Jp désignant une fonctionnelle de cc{t), homogène et entière de degré p;\]q en particulier est une constante.
Remplaçant x par x ->r aox. dérivant par rapport à ij., et faisant |jL =: o, on obtient la formule
Ip
OU =■ X oUi-h. . .H i SUyj-+-. . .,
ou, en égalant les coefficients de 8:r dans les intégrales que représentent les deux membres,
On a de même, par une nouvelle dérivation,
(7) ui..= -(uo:u+...+ ^(Upj:i..+...,
(8) UL,= ^(U,)L, + ...-f-^(U,0'... + ....
La première de ces formules montre que U est une fonctionnelle de Gâteaux si toutes les fonctionnelles U^r, le sont.
En particulier, pour qu'une fonctionnelle représentable par une
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série de Tajlor soit une fonctionnelle normale de Gâteaux, il faut qu'elle soit de la forme
(()) U = Uo+/ o^{t)x{l)'dl+...
-^ f f f '^p{ti,h, ..., ti>)x{t^)x{h)..,x{t.,,)dt^dt.2...dtp-^....
Ces séries de Tajlor ont été considérées par M. Vol terra. Les considérations qui précèdent montrent bien leur degré de généralité ])armi les fonctionnelles continues dans le champ des fonctions de carrés sommables, et ayant des variations de tous les ordres. Pour arriver à cette forme, il faut faire deux hypothèses restrictives : que la fonctionnelle soit normale, et de Gâteaux.
83. Séries de polynômes. — On peut représenter par des séries de polynômes des fonctionnelles plus générales que celles représentables par une série de Taylor.
Un polynôme de degré p est, par définition, une somme de fonctionnelles entières et' homogènes de degrés o, i, ...,/?. Si ces fonctionnelles sont normales, le polynôme est dit normal. Si ce sont des fonctionnelles de Gâteaux, le polynôme est dit de Gâteaux. Un })olynome normal de Gâteaux est alors une somme limitée de la forme (9).
Nous appellerons dans la suite (D le domaine des fonctions de carrés sommables dont le module fonctionnel ne dépasse pas un nombre 0)1 et (D' le domaine des fonctions continues dont le module ne dépasse pas OR. Une fonctionnelle définie et continue dans (JD l'est a fortiori dans CD' (en prenant dans chacun de ces domaines la définition appropriée de la distance).
On a alors le théorème suivant, du à M. Frécliet. La démonstration que nous donnerons est due à Gâteaux.
Théorè:me. — *S'/ une fonctionnelle U est définie et continue dans le domaine (S)', elle peut être définie dans ce domaine comme limite de polynômes normaux; de Gâteaux.
Divisons l'intervalle (o, i) en n intervalles égaux. Soit ç, la valeur moyenne de ;r(/) dans rintervalle ( > -J. Désignons par
oc,i{l) la fonction définie jjar les formules
Xn{o) = Xn
et par la condition de varier linéairement dans chacun des intervalles considérés. La fonctionnelle U étant certainement définie pour la fonction .r„(^), posons
Cette expression, en vertu de la continuité de la fonctionnelle U, est une fonction continue de Ei, $25 • • • 7 ^n-, et tend vers U | [^(^)] | quand Il augmente indéfiniment.
La fonction conlinue iin peut, dans le domaine considéré, défini par les inégalités
être représentée avec une erreur inférieure à tout nombre positif donné £„ par un polynôme /?,,( ^ , , ^07 • • • 5 i«)- ^i Vow choisit pour les Zn des valeurs tendant vers zéro quand n augmente indéfinie, la différence
|1^ |[^(0]|-i>/J<|l^ 1[^(')] -Ua\-^^,v
tend vers zéro quand, la détermination de x{t) restant fixe, n augmente indéfiniment. Les polynômes j»;^ ont donc pour limite la fonctionnelle U, mais la convergence n'est pas en général uniforme dans tout le domaine fonctionnel considéré.
Or/>„, considéré comme fonctionnelle de ^(^), est un polynôme normal de Gâteaux. En effet, en remplaçant les \i par leurs valeurs
(10) \i=n Ç x{t)dt,
Lui
chaque terme du polynôme pn prend la forme
(u) i I . .f o{ti, ti, ...,tj>)x{ti)x{t2)... x(fp)dtidti ... dt^„
la fonction cp ayant la valeur nP dans une fraction égale à — du champ
