CIIAP. VI. — FONCTIONNELLES DE DEGRES QUELCONQUES. I

d'intégration eto dans le reste du champ. La quantité/?,,, somme de ces termes, est un polynôme normal de Gâteaux, ce qui achève la ch'monstration du théorème énoncé.

84. Remarques. — i° La fonction cp qui intervient dans l'expression (il) est discontinue. On peut éviter cet inconvénient en modifiant la définition des nombres S/. Désignant par [^-«(^) nne fonction continue, positive ou nulle dans l'intervalle (o,i), ayant pour valeur

moyenne i dans chacun des intervalles ( , —j , et nulle aux points

qui séparent ces intervalles, il suffit de poseï

(19.) ^i=n / ixn{t)x{t)dt

i—n / [Xn

De même, on peut rendre continues les dérivées jusqn'à un certain ordre li de la fonction cp, en prenant pour ^-n ^me fonction admettant des dérivées d'ordres i, 2, . . . , h continues, et s'annulant aux points

2'* Si la fonctionnelle L admet des variations première et seconde

continues dans le domaine fonctionnel considéré, Un{\\i ^25 v/ )

est une fonction admettant des dérivées premières et secondes continues, et dont les différentielles première et seconde tendent respectivement vers les variations première et seconde de U quand n augmente indéfiniment, les déterminations considérées de x[t) et hx{l) restant fixes.

On peut alors choisir le polynôme p,t de manière que, non seulement p,i diffère de Un de moins de tni mJ^is que ses difierentielles première et seconde diffèrent de moins de £„ de celles de Ji„, pour tout système de déterminations de H), Ço, . • • , v„, <i;,, «r/ço, • • • , d^n^ inférieures en module à OU.

On obtient alors des polynômes de Gâteaux P„| [^(011 4"^ tendent vers U|[j?(/)]|, tandis que leurs variations première et seconde tendent vers celles de U.

Un résultat analogue peut naturellement être obtenu en considérant les variations jusqu'à un ordre quelconque.

3*^ On peut démontrer un théorème analogue en se plaçant dans le

domaine (© des fonctions x{t) de carrés sommables, telles que

(i3) f x'^{t)dtid\L

et en considérant une fonctionnelle U continue dans ce champ (définition de la continuité liée au voisinage en moyenne).

On ne peut que diminuer le premier membre de l'inégalité (i3) en remplaçant x{t) par sa valeur moyenne ^/ dans chacun des intervalles • La fonction discontinue Xn{t) ainsi formée vérifie donc

encore la condition (i3). Donc U|[:r„(^)] | est une fonction continue de ?4, ?2,---7 i/o tendant vers U|[^(/)]| quand Ji augmente indéfiniment. On arrive alors à un résultat analogue à celui du numéro précédent, le raisonnement se terminant de la même manière.

La remarque du 2" du présent numéro se généralise aussi à ce nouveau point de vue.

80. Propriétés des fonctionnelles de Gâteaux. — 11 est remarquable qu'une fonctionnelle continue quelconque soit obtenue comme limite, non de polynômes quelconques, mais de polynômes normaux de Gâteaux. La propriété caractéristique des fonctionnelles de Gâteaux disparaît donc à la limite.

n'est naturel de penser qu'elle ne disparaît pas à la limite si la convergence est uniforme dans le domaine fonctionnel considéré, et que par suite les fonctionnelles de Gâteaux, dans le domaine (© ou dans le domaine (D', peuvent être caractérisées parla propriété suivante : elles peuvent être définies comme limites de polynômes normaux de Gâteaux^ la convergence étant uniforme dans le domaine considéré.

Nous appellerons cette propriété : propriété (/. Nous appellerons propriété (/' celle qui nous a servi jusqu'ici à définir les fonctionnelles de Gâteaux.

Nous dirons enfin qu'une fonctionnelle a la propriété (j^ dans le domaine (0 si :

i" Elle est uniformément continue dans le domaine cD; 2° Quel que soit z positifs on peut déterminer n tel cjue

(i4) lU|[^]|-Ui[^„]l|<£,

x{t) étant une fonction quelconque du domaine (© et Xn{t) étant

CIIAP. M. — FOXCTlONNELLIiS DE DEGRES QUELCONQUES. I09

la fonction égale ^ dans chacun des intervalles f > -j? à la

valeur moyenne de x{t) dans cet intervalle ; celte fonction appartient nécessairement au domaine (D.

Nous allons d'abord démontrer l'identité des propriétés Ç et Çi. Nous comparerons ensuite les propriétés (j' el(/'.

86. Théorème de Gâteaux : équivalence des propriétés (/ et (j*,. -7- Nous nous placerons dans le cas de fonctionnelles vérifiant ces propriétés dans le domaine CO. Il en résultera des différences de détails avec les raisonnements de Gâteaux, qui s'était placé dans le domaine (©'.

Les polynômes normaux de Gâteaux considérés, devant être définis dans tout le domaine (E>, sont formés avec des fonctions cp^ de carrés sommables.

i" La propriété (j entraîne la propriété Ç,. — La propriété Q^ étant évidemment une propriété qui se conserve à la limite, si U tend uniformément vers une limite dans tout le domaine (D, il suffit de vérifier que la propriété (J 1 appartient aux polynômes de Gâteaux, et pour cela de vérifier qu'elle appartient à un de leurs termes, c'està-dire à la fonctionnelle

(i5) / f "' f ?(^i'^2' ■y t,,)x(ti)x(t.2).., x{tp)dtidt.... dt,>,

la fonction ç> étant symétrique et de carré sommablé. On peut alors la remplacer par une fonction contiime et symétrique qui en approche en moyenne de moins que tout nombre donné s'; l'erreur qui en résultera sur l'intégrale (i5) sera, dans tout le domaine (0, inférieure à e'OR/', et cela ne change rien en ce qui concerne la propriété (j ,.

Il suffit maintenant de démontrer que l'on commet une erreur aussi petite que l'on veut en remplaçant x[t) par Xn{t) successivement dans les p facteurs de la fonction intégrée dans l'expression (i5), c'est-à-dire que

(16) I . • f y.{t,)-.^yp{t^)dt....dt„

I o(ti, t.i, ..., fp)[:r(ti)—Xn(ti)]dti,

I lO PREMIKRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

est, pour n assez grand, inférieur dans Lout le domaine ® à toul nombre donné e ; yo, . . . , j^yj désignent, soit x^ soit x,i^ en tout cas des fonctions du domaine (D.

La fonction 's2 étant continue, et par suite uniformément continue, peut être remplacée, si n est assez grand, par '-pi-f 'fo? ^i étant

constant quand t^ varie dans chacun des inter\ ailes

autres variables t^i - - - -, tp restant constantes, et cso ayant son module inférieur à un nombre r, si petit qu'on veut. Le terme de Fexpression (i6) provenant de ^^ est nul, puisque x{tx) — Xn{t\) a sa valeur moyenne nulle dans tout l'intervalle considéré; l'autre terme, et par suite l'expression (i6), est inférieur à 27)011'% quantité aussi petite que Ton veut. c.q.f.d.

2° La propriélé (/, entraîne la propriété (j. — Pour démontrer ce résultat, il suffît de former un polynôme normal de Gâteaux V,i qui diffère de U, dans tout le domaine (D, d'une quantité inférieure à £. On y arrive aisément en suivant la voie indiquée n° 84, 3°. Remplaçant d'abord L| [.r( ^)] | par

nous commettons une erreur qui, pour n assez grand, d'après la prol^riété Ç,, 2^, est inférieure à -> non seulement pour chaque fonction x{t)^ mais dans tout le domaine (0.

La fonction Unt évidemment continue, et que l'on n'a à considérer que dans le domaine fini

peut être remplacée, avec une nouvelle erreur inférieure à -, pav un polynôme normal de Gâteaux

87. Remarques. — i^ Dans la deuxième partie de la démonstration précédente, l'hypothèse de la continuité uniforme de U| [^(^)] | n ii pas seivi. On j^eut la remplacer par l'hypothèse de la continuité simple, même par l'hypothèse encore moins restrictive de la continuité simple, la définition considérée étant celle liée au voisinage

CIIAP. VI. — FONCTIONNELLES DE DEGRES QUELCONQUES. I l 1

uniforme; si la fonctionnelle U est ainsi définie et continue dans le <lomaine (D, et jouit de la propriété Ç,, 2", le raisonnement subsiste; elle jouit de la propriété (j et, par suite, de la propriété (J^ telle c[ue nous l'avons énoncée. Elle est uniformément continue dans le domaine fonctionnel (ô considéré, la définition considérée de la continuité étant celle liée au voisinage en moyenne, celle cjui est la définition naturelle dans le domaine (Ô.

A première vue, on aurait pu penser qu'il j a plusieurs sortes de fonctionnelles jouissant de la propriété (j*i, suivant la définition que l'on adopte de la distance de deux fonctions, et par suite de la continuité. On voit par la remarque qui précède que, dans un champ fonctionnel déterminé, une définition déterminée s'impose, et qu'il est plus exact de dire que les différentes sortes de fonctionnelles considérées se distinguent par le champ fonctionnel dans lequel elles sont définies et continues. Ceci précise les remarques du n*^ 13.

2^ Dans l'énoncé de la propriété Ç,, nous avons considéré des intervalles égaux pour simplifier le langage. On ne changerait rien d'essentiel aux raisonnements et, par suite, on aurait une propriété équivalente à la propriété Ç, si l'on prenait une loi différente pour la division de l'intervalle (o, i), ou bien si l'on ne précisait pas une loi déterminée.

3" Une remarcjue analogue à celle du 11° 84, 3*^, peut être faite au sujet de la propriété CJ^. Il peut arriver cju'une fonctionnelle vérifiant cette propriété n'admette pas de variation, ou bien en admette une qui, considérée comme fonction de x{t)^ ne vérifie pas cette propriété. Mais, si 8U vérifie la propriété (j, , on peut définir le polynôme P« de manière que, non seulement U — P„, mais ûU — SP,;, aient leurs modules inférieurs à £ pour toutes les dé terminal ions de x{t) et Zx{t) intérieures au domaine CD.

Nous généraliserons les notions des propriétés (^ et (/<, et les principaux résultats cjui précèdent dans le dernier Chapitre de la troisième Partie.

88. Comparaison des propriétés Q et C^' . — 11 n'y a évidemment pas identité complète entre ces deux propriétés. La première n'implicjue pas l'existence des dérivées fonctionnelles ; la seconde suppose au moins l'existence de la dérivée fonctionnelle première. On peut, d'ailleurs, l'énoncer sans supposer l'existence de la variation seconde

S=^U et (le la dérivée fonctionnelle t ^,. . En effet, la condition lJ'^.î=o signifie que, la variation ox(t) étant en valeur absolue inférieure à /i dans l'intervalle (t — £, / -f- s), et nulle en dehors de cet intervalle, la valeur au point t du rapport —r-^ tend nécessairement vers zéro avec h et £, sauf peut-être pour des points constituant un ensemble de mesure nulle.

Nous allons montrer l'équivalence des propriétés Ç et Ç' pour les fonctionnelles vérifiant les conditions suivantes :

1° Existence, dans le domaine®, d'une variation première normale et d'une variation seconde.

2" La dérivée U^ est continue par rapport à /, les différentes fonctions de t obtenues en faisant varier oc(t) étant également continues.

3" La répartition des masses liées à 8-L est, dans la bande I ^ — ^, I <; /, la même que pour une fonctionnelle normale, et L , ,.^ est dans cette bande inférieure en module à K, l étant aussi petit, K aussi grand qu'on veut, mais tous deux indépendants de x{t).

4** La dérivée L^jCSt continue, tant [)ar rapport à t que comme fonctionnelle de x{t).

On pourrait d'ailleurs aisément remplacer cette dernière condition par la condition moins restrictive que le point de l'espace fonctionnel qui représente la fonction L'^.s de / dépende d'une manière continue de celui qui représente x{l)\ il suffît que L^.2, considéré comme fonction de ^, soit de carré sommable, pour que cette condition ait un sens très précis.

89. Divisons l'intervalle (o, i) en // intervalles égaux, le nombre îi étant pris assez grand pour que | ^' — ^|5— entraîne dans tout le domaine (D

(17) |U!,.(/';— IJIv) U>/'

Y) étant un nombre positif arbitrairement petit. Gela est possible, d'après l'hypothèse ci-dessus, relative à L'^.

Désignons par/(^) et F(^) deux fonctions du domaine (©ayant même valeur moyenne dans chacun des interv^alles f ' ~ ) ' ^^

par fi{t) la fonction égale à f{t) de o à - et à F(^) de - à i.

CilAP. VI. — FONCTIONNELLES DE DEGRES QUELCONQUES. Il3

Posons

La différence U| [F(Z)] | — 1J| [/(Ol 1^ 4^^ intervient dans l'énoncé de la propriété C]^ équivalente à la propriété Ç, est la somme de n termes, dépendant de l'indice /, dont l'un quelconque s'écrit

u I [/lit)] I - u 1 [/--iCOl I = f ?:-(>0 di = cp;.(i)- f'io",{i)dk.

On en déduit

(i8) , U I [F(0] I - U I [ f(t)] 1 =2 ?'-^') -2 / ^?'K>0 ^?^. Calculons d'abord 'f^(i). On a

Dans cette intégrale, remplaçons U^ par sa valeur en un point déterminé de l'intervalle considéré; elle devient nulle, puisque la valeur moyenne de g'{l) dans cet intervalle est nulle. L'erreur sur U'^, d'après la formule (17), est au plus égale àrj; l'erreur sur '^^(i) est donc au plus égale à

§-{t)\dt.

et l'erreur sur la première partie de l'expression (18), à

quantité aussi petite que l'on veut.

Or la propriété Q est équivalente à la propriété Ç', 2*^, puisque nous ne nous occupons que de fonctionnelles continues admettant une variation. Elle équivaut donc à la propriété que l'expression (18) puisse être rendue aussi petite que l'on veut; la première partie^de cette expression étant aussi petite que l'on veut, nous sommes

Il4 PREMIÈUE PARTIE. — LES lOXDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

ramenés à démontrer c|ue Texpression

(>9) y r '^ii{^)d\

peut être rendue aussi petite que l^on veut pourvu que /i soit assez L;rand, lorscjuc l ,.== o, et dans ce cas seulement.

90. 1° Supposons d'al)ord cjue Lj^.,= o, et que U^^.^ soit nul aussi pour t — ti assez petit, de sorte cjue, dans la répartition de masses liée là ô-U, il n'y ait pas de masses dans le voisinage de la droite

La dérivée '^J()^) n'est autre eliose cjue la variation seconde de L', calculée pour

La détermination de ox{t) n'étant diiïérente de zéro que dans l'intervalle ( j -], l'intégrale qui exprime 8-U devra être étendue

seulement au carré

a n n ii

Or il n'y aura pas de masse dans ce carré, pourvu cpie n soit assez grand. Par suite, l'expression (19) sera non seidement aussi petite que l'on veut, mais rigoureusement nulle.

1^ Supposons maintenant toujours U'^2=o, mais n'imposons plus à \j\.jc^ d'autre hypothèse que celle faite dans l'énoncé (n"88, 3°). On aura alors

= r f u:;..., I [/•! 4- igi] I g{t)g{t,)di dt„

(i OU

(X)K-- / sHt)dt,

CIIAP. VI. — FONCT[ONNl!:LLIi:S DE DEGRÉS QUELCONQUES. Il5

et l'expression (19) est au plus égale à

{t)dtS

Le résultat obtenu est donc encore démontré.

3° Il reste à se placer dans le cas où U^.^ n'est pas nul, et à montrer qu'on peut s'arranger dans ce cas pour que l'expression (19) reste, quelque grand que soit /i, supérieure en valeur absolue à un nombre fixe G, d'ailleurs aussi petit qu'il sera nécessaire.

Le terme qui provient de U'^.r, tendant vers zéro, il suffit de tenir compte du terme qui provient de U'^., qui s'écrit

Or, UJo n'étant pas nul, on peut, en vertu de l'hjpotbèse de la continuité (n° 88, 4*^)5 choisir un petit intervalle (^(, ^2) dans l'intervalle (o, i), et une petite sphère du domaine (D de centre f{t) et de rajon /', telle que U'^». soit d'un signe déterminé, par exemple positif, et supérieur à un nombre fixe m, si t est dans Fintervalle (/|, t^) et x{t) dans cette sphère. Prenons F(^) sur la surface de cette sphère et ne difierant def{t) que dans l'intervalle (^i, ^2)- L'expression (20) est évidemment supérieure, quelque grand que soit /?, à

fng^(t) di = —

ce qui acliève de démontrer le théorème énoncé.

Les propriétés (/, ou (/, , apparaissent donc comme équivalentes à la propriété (/, sous des conditions très peu restrictives, et le sont probablement toutes les fois que l'énoncé de ces propriétés a un sens. Mais elles conservent un sens dans certain cas où la propriété ()''n'en a pas. Aussi paraît-il indiqué de modifier un peu désormais la définition des fonctionnelles de Gâteaux, en les définissant par la propriété CJ ou par la propriété équivalente g,.