NOTIONS SUR LES SÉRIES DE FONCTIONS ORTHOGONALES
Sommaire : Variétés linéaires à n dimensions dans l'espace fonctionnel; expression de la distance. — Définition des angles. — Composantes d'un vecteur donné. — Choix d'axes rectangulaires dans une variété linéaire quelconque. — Variétés linéaires à une infinité de dimensions. — Suites complètes et suites incomplètes. — Changement d'axes rectangulaires dans l'espace fonctionnel. — f^a fonctionnelle considérée comme fonction d'une infinité dénonjbrable de variables indépendantes.
91. Variétés linéaires à n dimensions dans l'espace fonctionnel. Expression de la distance. — Considérons /? -f- i fonctions /^ (^), f\{t), . . . j fn{t) données. Les points de l'espace fonctionnel représentant les fonctions
constituent une l'ciriété linéaire à n dimensions ou plan V„. Les quantités a^^ a-,, . . ., an peuvent être considérées comme des coordonnées dans ce plan.
Nous considérerons des plans contenant l'origine, c'est-à-dire le j)oint qui représente la fonction x{t) ^ o. On peut alors représenter l'ensemble des points du plan P„ par la formule
(i) ocit) = aif^(t)-^a.yf.>{t)-^...+ fi„fn(t)'
Considérons la distance r d'un point à l'origine. Nous prendrons la définition de la distance donnée par la formule
définition qui est celle que nous avons surtout considérée jusqu ici et
CHAP. VII. — CONSIDERVTIONS GEOMETRIQUES. II"
que nous considérerons exclusivement dans la suite. Pour une fonction du plan P/i, on a
les coefficients A^- et A/ y ayant des valeurs faciles à former. 11 peut arriver que cette formule prenne la forme
(2) /'2= a2^«^]-H...+ rt2^
11 faut et il suffit pour cela que l'on ait
dt — \,
f fnt)
f fi{t)fj{t)dt. = o {l,j\ =r, 2, ..., /?; iVy).
Lorsque la première de ces conditions est vérifiée par une fonction y,(^), on dit que cette fonction esl normale ; lorsque la deuxième est vérifiée, on dit que les fonctions //(^) ei/j{l) sont orthogonales.
Supposons donc que les fonctions f\{f')if'i{f-)i • • • ? y«(^) constituent un système de fonctions orthogonales et normales, de sorte que la formule (2) est applicable. De même la distance p des points qui représentent les fondions x[t) et
est alors donnée par la formule
p2 3= ( ^>i — ai )2 4- ( 62 — «2 )^ + . • . ^- ( ^« — «« )2.
Ces formules montrent que le plan P„ est identique à l'espace E,, de la géométrie à n dimensions, les coordonnées considérées étant rectangulaires. Autrement dit, une figure étant délinie par les distances de ses points deux à deux, une figure formée par des points du plan V,i est identique à la figure formée par les points ayant respectivement les mêmes coordonnées dans l'espace E/^. On peut donc dire que le plan P,, est un hyperespace ordinaire à n dimensions.
92. Définition des angles. — Considérons deux vecteurs OM et OM', de longueurs respectives /• et r\ représentant des fonctions x(^t) el y{t). On appelle angle de ces vecteurs l'angle 9 défini parla
Il8 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.
formule
■'cos6 = / x{t)y{t) cit.
En remplaçant x\t) ety(^) par les expressions (i) et (/j), et tenant compte des formules (3), il vient
rr ces 6 = «1^1+ a^b^-r . . .+ cinh,i.
Cette formule montre cpie, pour les fonctions du plan P„, il y a identité entre cette définition et la définition habituelle de l'angle dans l'espace à n dimensions.
On peut de même appeler /v'cosG produit scalaire des fonc-
x( t) tions oc {t) ely[L)^ et r' cos^ -^ projection de la fonction y{t) sur
le vecteur OM. Ces définitions sont identiques à celles employées dans l'espace à 11 dimensions.
Si l'on considère une figure de l'espace fonctionnel, formée d'un nombre fini de points, on peut la considérer comme tracée dans le plan défini par ces points. Dans ce plan, les relations de la géométrie ordinaire s'appliquent. Les relations connues entre les angles et les côtés d'un triangle, entre les faces et les dièdres d'un trièdre (la définition du dièdre étant la même que dans la géométrie ordinaire), s'appliquent donc.
On remarque que la définition des fonctions ortliogonales donnée n° 91 n'est qu'un cas particulier de la définition que nous venons de donner de l'angle de deux vecteurs; deux fonctions ortliogonales sont représentées par des vecteurs dont l'angle est droit.
Si un vecteur OM est la résultante de vecteurs OM,, OM2, ..., OM^ orthogonaux deux à deux, on a évidemment
0M-2= OMf + OM|H-...+ OM;,.
93. Composantes d'un vecteur donné. — Soit OM un vecteur du plan Pn, représentant une fonction x{t) de la forme (i). Nous supposons qu'on sache qu'elle est de la forme (i), mais qu'on ne connaisse pas les coefficients a^^ a-;,^ . . • , ««• On les détermine aisément par la formule
(5) «/:- f fiU)x{t)dt.
CIIAP. VII. — CONSIDÉHATIONS GIÎOM KÎRIQLES. II9
Géojnétriqucment, cela revient à écrire que ai est la longueur de la j)rojection de la fonction x{t) sur Taxe des ai (' ).
Si Ton ne sait pas si x^t) est de la forme (i), on peut calculer les coefficients ai j)ar la formule (5), et former la fonction
(6) \i^t)^aJ,{t)-\~a,Mt)-^...-^anfn{t). ^
Elle ne coïncide j)as avec ^(^) en général; mais, en posant
on a
f fi{t)^.{t)dt= f fi{t)[\{t)~x{t)]dt = ai-ai=o.
La fonction ç(/) est donc orthogonale à tous les fi{t), et par suite à toutes les fonctions de la forme (i); elle est orthogonale au plan V„. Les formules (5) et (6) nous conduisent donc à la décomposition du vecteur OM en un vecteur OH du plan P/^, représentant la fonction X(/), et un vecteur IIM, normal à ce plan, représeiitant ^{t). On a évidemment
(;) / x''-{t)dt= j X^t)dt-{- f ^'{t)dt
Jq ^'q Jq
*J Cl
dt.
9i. Choix d'axes rectangulaires dans une variété linéaire quelconque.— Nous allons montrer que les conditions (3) ne restreignent nullement la notion de variété linéaire, mais que dans une variété linéaire quelconque, représentée par la formule
(8) x{t) = ai'y,(/) -f- ^292(0 +• • •+ 'J-n'^?i{t),
on peut choisir n fonctions orthogonales et normales/, {t)-,/^^^)^ •••? fn(^) telles que la formule (i) représente la même variété.
Bien entendu, nous su])posons les fonctions o< (/), 02(^)7 • • •: 'f//(0 linéairement indépendantes; dans le cas contraire, on aurait une
(^) La quantité a- représente évideninient la plus courte distance du point x (t) à n'importe quel point, non seulement du plan P„, mais même de Tespacc fonctionnel, pour lequel a- soit nul. C'est la distance au plan «■= 0. Si la fonction /,(0 n'était pas normale, il y aurait lieu de diviser rintégrate (5) par sa moyenne (juadratique.
variété à moins de n dimensions, et rinlrodiiclion de certaines de ces fonctions serait inutile.
Nous emploierons le langage géométrique et chercherons à déterminer les vecteurs OA,, OAo, . . ., OK,i qui représentent les fonctions y*/(^). Prenons d'abord OA, de longueur unité et dirigé suivant le vecteur OM, qui représente 'fi(^). Décomposons ensuite le vecteur OM2 qui représente 'f2(7) en 0112 dirigé suivant OA, (c'està-dire OM,), et H2M2 normal à cette direction; prenons OA2 parallèle à H2M2 et de longueur unité. Décomposons de même OM3 en OH3 situé dans le plan 0A,A2 (qui n'est autre que 0M,M2), et H3M3 perpendiculaire à ce plan; prenons OA3 parallèle à H3M3 et de longueur unité. Continuant de même, nous obtenons n vecteurs OA,, OA2, . . ., OArt, de longueurs égales à l'unité et orthogonaux deux à deux, qui déterminent une variété linéaire à n dimensions évidemment identique à celle donnée. Le résultat cherché est donc obtenu.
Ainsi la variété (8) est du type étudié n**' 91 à 93; seulement, elle est rapportée à des coordonnées obliques. On peut la rapporter à des coordonnées rectangulaires, et les formules permeltant de passer d'un système à l'autre ne sont autres que les formules habituelles du changement de coordonnées.
On peut considérer en particulier des changements de coordonnées rectangulaires. ïl est facile de retrouver dans ce cas les formules de la géométrie ordinaire. Pour cju'on soit dans ce cas, il faut et il suffit que les fonctions '^i{t) soient orthogonales et normales, c'est-à-dire, en posant
que
On peut inversement exprimer les fh (0 en fonction des '^i{t) pa résolution du système (9). On trouve évidemment
fh{t) = G/,,,cpi(^) + G/,, 292(0 + - ---^ G/,,„'j,,(0, Ca,,= f fn{t)oi{t)dt
