CHAP. VII, — CONSIDÉRATIONS GÉOMÉTRIQUES

c'esl-à-(Jire

(il) fn{t) = c/,,iOi(^)-f-c/,,2'f2(0 + -. •-+-c/,,„cf„(^), (h = I, ?., .. .. n).

Comme d'ailleurs les fh{t) sont des fonctions orthogonales et normales, il vient

Ces formules, par la manière dont nous les avons obtenues, résulteni des formules (lo). On peut de même, inversement, déduire les formules (lo) des formules (12); les systèmes (10) et (12) sont donc* équivalents.

D'autre part, la comparaison des formules (i), (8), (9) et (i i) donne sans peine les formules

(i4) y./= Ci,,ai-hc.,ja2 + - • • ^ Cn,ia,i,

qui permettent de passer du système de coordonnées a,, 7.0, . . . . a„ aux coordonnées ai, <72, . . ., ««, ou inversement.

9o. Variétés linéaires à une infinité de dimensions. — Considérons maintenant une suite indéfinie de fonctions

orthogonales deux à deux et normales. La formule

(i5) x(t) = ayf^(t) -i- a,fi{t) -i- . . .-i- a,J,JJ) ^ • ■ ■ ,

qui généralise la formule (i), définit une variété linéaire, ou plan, à une infinité de dimensions, contenant l'origine. Soit P cette variété.

Les remarques faites au sujet des plans P„ s'étendent sans difficulté à ces variétés aune infinité de dimensions. Ainsi l'hypothèse que les fonctions //(^) soient orthogonales et normales ne restreint en rien la généralité de la nolion de plan P.

Si l'on sait qu'une fonction est représentable par une série de la forme (i5), on peut encore en obtenir les coefficients par la formule (5).

Prenons maintenant une fonction Jr(t) de carré sommable, à cela près quelconque. Calculons les coefficients ai par la formule (5), et

formons la série

(i6) «,/i(0 + ciif^{t)~\-.. .+ a„fn(t)-T-.. . .

Il s'agit d'étudier si elle représente une fonction, et si cette fonction est ou non x(t).

Appelons X,i(/) la somme des 7i premiers termes, et posons

x{t) = X,,(t)-\-'çn(j).

La formule (r) donne

d'où résulte que la série Saf^est convergente, sa somme étant au plus égale au premier membre.

Appelons A,; le point de l'espace fonctionnel qui représente la fonction X„ (t). Si 7i' >> /i >> N, on a

quantité aussi petite qu'on le veut si N est assez grand. Donc A,i tend vers un point déterminé A. Analjtiquemcnt, cela signifie que X,i[t) converge en moyenne vers une fonction de carré sommable X(^).

Bien entendu, cela ne veut pas dire que la série (ï()) converge pour chaque valeur de t. Elle converge seulement en moyenne. La valeur de X(^) peut d'ailleurs être modifiée arbitrairement pour les points d'un ensemble de mesure nulle. On a vu que, dans ces conditions, X(^) peut être considéré comme parfaitement connu si l'on sait calculer

(17.) / X(t)y(t)dt,

y{t) étant une fonction de carré sommable, à cela près quelconque. Cette intégrale est la limite, pour n infini

(18) f X,,(t)y{t)dt,

puisque

j f [\>t)-Xn(t)]rit)dt [s f [X{t)~XnU)Ydt f yHj)dt,

rriAP. VII. — CONSIDERATIONS GEOMETRIQUES. 123

quantité'' qui tend vers zéro. Or, en posant

hn= / J'n(j))iJ)dt,

l'expression (18) s'écrit

L'expression (17) est donc la somme de la série YiCinbn, dont on peut vérifier immédiatement qu'elle est convergente, puisque ^aj^ et S^j; le sont. La fonction X(^) peut être considérée comme connue.

La fonction x{l) apparaît alors comme la somme d'une fonction X(?) représentable par la série (16), et d'une fonction ^{t) orthogonale à toutes les fonctions //(/), puisque

J ft^.^}V^)d^= I fi[t)x{t) dt — \\m I fi(t)\n(t)dt = ai-—ai=o.

La fonction x{t) donnée sera alors représentable par la série (i5), ou non. suivant que cette fonction ^(z) est nulle ou non.

96. Suites complètes et suites incomplètes. — JNous dirons qu'une suite de fonctions orthogonales est complète s'il est impossible de trouver une fonction • ^(^), non identiquement nulle, identique à toutes les fonctions de la suite. Elle esl incomplète dans le cas contraire.

Dans le premier cas, la fonction ç(/) du numéro précédent est sûrement nulle, et par suite une fonction x{t) de carré sommable est toujours représentable par la série (iD-). On peut dire que le plan P constitue tout l'espace fonctionnel, et les coordonnées ai constituent un système de coordonnées rectangulaires dans Fespace fonctionnel.

Ce cas est d'ailleurs effectivement possible. La théorie des séries trigonométriques, dont nous avons rappelé les principaux résultats au Chapitre 111, montre que la suite

I, y/acos'?. -/, s/i 's\u'ir.t, ..., \/-i cos-}. ht. t^ \/i's\n'inrJ .

est une suite conq^léte de fonctions orthogonales et normales. 11 n'existe aucune fonction ortliogonale à toutes ces fonctions, et c'est pour cette raison que toute fonction de carré sommable est représentable par une série trigonométrique.

Le cas des suites incomplètes est évidemment aussi possible. 11 suffit de supprimer des termes d'une suite complète pour obtenir une suite incomplète. Dans ce cas, il existe au moins une fonction orthogonale à toutes celles de la suite, et qui n'est évidemment pas représentable par une série de la forme (i5). Le plan P, cjuoique ayant une infinité de dimensions, ne représente qu'une section de l'espace fonctionnel.

On démontre aisément que toute suite incomplète peut être déduite d'une suite complète par suppression de termes en nombre fini ou infini.

11 n'est pas nécessaire que les fonctions d'une suite soient orthogonales pour qu'on puisse se poser la question de savoir si la variété linéaire qu'elles définissent constitue ou non tout l'espace fonctionnel. Ainsi, considérons la suite

Par applica:ion du procédé indiqué n** 94, on en déduit une suite de polynômes orthogonaux

(•20) I, /lit), /-lit), ,..., fn(.t), ...,

qui sont bien connus sous le nom de polynômes de Legendte. Les Il premières fonctions de la suite (20) sont évidemment des combinaisons linéaires et homogènes des fonctions correspondantes de la suite (19), et inversement. Une fonction orthogonale à toutes les fonctions d'une des suites le serait à toutes celles de l'autre; on démontre qu'il n'en existe pas, et par suite la variété linéaire définie par les fonctions (20) constitue tout l'espace fonctionnel.

On voit que, sans passer par l'intermédiaire des suites de fonctions orthogonales, si l'on se donne une suite de fonctions non orthogonales,

comme la suite (19), et si l'on démontre c|u'aucune fonction ne peut être orthogonale à la fois à toutes ces fonctions, on peut affirmer que la variété linéaire qu'elles définissent constitue tout l'espace fonclionnel. On peut approcher en moyenne autant cjue l'on veut de toute fonction de carré sommable par une somme de la forme

CflAP. VU. — CONSIDÉRATIONS GÉOMÉTRIQUES I'x5

Seulement la difïérence essentielle entre ce cas et le cas des fonctions orthogonales est que, lorsqu'on améliore indéfiniment l'approximation, n augmentant indéfiniment, le coefficient ai d'indice fixe l ne reste pas fixe. Au contraire, dans le cas des fonctions orthogonales, on peut prendre le coefficient donné par la formule (5), qui dépend de i seulement et non de n.

97. Changements d'axes rectangulaires dans l'espace fonctionnel.

— Considérons deux suites

< •■>-!) ' /l(0, /2(0, ••-, fuit), ..., (9.2) ?l(^), ?2(0» ?/i^^)7 '••■>

de fonctions orthogonales et normales, la première étant complète. En posant

•A on peut donc écrire

Le fait que les fonctions ^/(^) soient orthogonales et normales s'exprime par les conditions

La résolution des formules (28) par rapport aux fonctions y*^(i) est d'ailleurs possible ou non, suivant que la suite (22) est elle-même complète ou non. Si, en eff'et, celte suite est complète, on peut intervertir le rôle des suites (21) et (22) et écrire

(25) /A('0 = CA,iCpi(r)-i-C/,,,çp2(0+----

Réciproquement, si les fh{t) s'expriment par des séries de fonctions ^/(<), toute fonction de carré sommable x(i), pouvant être approchée en moyenne autant qu'on veut par une somme de fonctions /a(0 ^^ nombre fini, peut l'être aussi par une somme de fonctions 'j>i{t)j ce qui prouve que ces fonctions forment une suite complète.

Dans ce cas, le fait que les fonctions fh{t)^ données par la formule (25), soient orthogonales et normales, s'exprime par les for-

nb PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

nmlcs

( Ca.i C/,.^i-r- t'/^^oC/,-, ? + ...= O (/i-T^A).

Dans le cas contraire, //i(^) est la somme de la série (^5), et d'une fonction ^7, (^) orthogonale à toutes les fonctions ^i{t)^ et qui, pour au moins une valeur de A, n'est pas identiquement nulle. Si p/^ est son module fonctionnel, celui de /a(^) étant i , on a pour cette valeur de h

(•27) c|,,,-+-c2,2-+-...=-I— PA<I.

On voit d'ailleurs sans peine que la somme Sp,^ (finie ou infinie) est égale au nombre de fonctions c|u'il faudrait ajouter à la suite (22) pour la rendre complète.

Contrairement à ce cpii se passe dans le cas cFun tableau fini de 71' coefficients ci y, le système (26) n'est donc pas une conséquence nécessaire du système (24). S'il est vérifié, et dans ce cas seulement, le système (28) est résoluble, par rapport aux /^(^), par la formule (23).

Si les deux suites (21) et (22) sont complètes, une fonction x(l) de carré sommable est de la forme

les aiel a/, étant les coordonnées rectangulaires dans deux systèmes dillérents. On a, pour passer d'un système à l'autre,

OU, en remplaçant '^h{t) par sa valeur (2.3),

On a de même

( •'•9 ) au = c/,,1 + c/,,2 «2 +

Cette dernière formule n'étant vraie que si la suite (22) est complète, on voit que la formule (28) n'est résoluble par rapport aux ai. les conditions (24) étant supposées vérifiées, que lorsque les éga-

CHAP. VII. — CONSIDÉRATIONS GÉOMETRIQl KS. 12;

IJlés (aC)) sont vraies aussi, et non l'inégalité (2-). Il suffit même, d'après ce qui précède, de vérifier la première égalité (26); l'autre en résulte nécessairement, et dans ce cas la résolution cherchée est donnée par la formule (29).

98. La fonctionnelle considérée comme fonction d'une infinité dénombrable de variables indépendantes. — D'après ce qui précède, la donnée d'une fonction x {t) de carré sommable dans l'intcrvalle (o, i) équivaut à la donnée d'une suite de coefficients a,, «o, ... tels que la série ^ci\ converge. La théorie des séries trigonométriques nous avait déjà conduit à ce résultat; la théorie générale des séries de tonctions orthogonales nous donne une infinité de manières de l'obtenir, chacune définissant un système d'axes rectangulaires dans l'espace fonctionnel.

Une fonctionnelle Lj |[^(0]1 P^ut alors être considérée comme une fonction des variables <7,, «27 • • • , <"0?? • • .

U 1 [x(tj\ I = u{ax, «2, • • -, '^hn ••..).

La distance de deux points de l'espace fonctionnel étant définie j)ar la formule

r-^= 1 [y(t) — xifJY- dt = ^{b,i-~ n„y^

ou

<^/i= / fnU)x(t) f^n= j fn{t)y[t)dt,

cela revient au même de dire que la fonctionnelle L est continue, ou que la fonction u est continue, les définitions de la continuité étant celles qui résultent de la définition de la distance.

du Oàa

et la dérivée fonctionnelle U' . On a

Il est facile d'établir une relation entre les dérivées partielles

Un désignant le coefficient de/„(/) dans le développement de U^. Oi

128 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS LU CALCUL FONCriONNLL.

en déduit

^^ = u,^=J^fjt)V'^^,^

du

De ces formules résulte immédiatement la relation

(3i) ^xV=f

àa,,

Cette expression A, Lj est /e paramètre différenliel du premier ordre. En langage géométrique, elle représente le maximum de (SU)lorsque ox a pour module fonctionnel i, ou en d'autre terme la valeur

de ( -7— j pour un déplacement normal à la surface de niveau

L =3 const. En la calculant à partir de cette définition, on arrive à l'une ou à l'autre des expressions ( 3i) suivant que l'on définit un point de l'espace fonctionnel par la fonction x[t) ou par ses coordonnées à,, «2, . . . T a,ij ....

99. Du point de vue qui vient d'être exposé, on peut déduire une nouvelle démonstration du théorème de M. Fréchet sur les fonctionnelles linéaires définies dans le champ des fonctions de carrés sommables.

Une telle fonctionnelle est évidemment de la forme

cette série devant être eonvergente toutes les fois que ^af^ converge. Il en est bien ainsi si F(/i) = cj -h Cg-f-. . . -f- cl tend vers une limite pour ji infini. Je dis que cette condition est nécessaire ; pour le prouver, nous allons montrer que, si F(w) devient infini, on peut choisir les a,i de manière que ^a^ converge, mais non ^Cnan-

Si les c,i ne tendent pas vers zéro, on peut choisir une suite de nombres />^,y;2 7 '-iPvi ••• tels que les c correspondants soient tous du même signe et supérieurs en valeur absolue à un nombre positif / . 11

suffit alors de prendre a,i^= - si /i est un des nombres /?v, et zéro dans le cas contraire. ' '

C[IAI>. VII. — CONSIDERATIONS GEOMETRIQUES. I29

Si les c,i tendeiiL vers zéro, F(/i) et F(/i -f- i) sont équivalents. Prenons alors

" ~ ¥{n)~ ¥{ti-{-i)~ F ( /i ) F ( n -h I ) *

On en déduit

Cette difïérence est équivalente à logF(/i + 1) — logF(/i), et Sc«a„ devient infini.

Tl faut donc que YicJ^ converge. Aux coefficients d correspond alors une fonction ^{t) de carré sommable, et la fonctionnelle cherchée s'écrit

/o{ t)x{ f I dt, ce qui est la formule de M. Fréchet.