CHAP. I. — L ORIGINE ET LES PRINCIPES DU CALCUL FONCTIONNEL

problèmes traités sont des problèmes de la théorie des fonctions ordinaires), ce serait se priver du fil directeur qui a permis à M. Volterra d'obtenir ses plus beaux résultats, comme il l'a montré dans ses leçons professées à la Sorbonne en 1912 (^).

Après ces leçons de M. Volterra, le moment semble venu d'esquisser un exposé d'ensemble de l'analyse fonctionnelle, dont l'objet essentiel est l'étude des équations aux dérivées fonctionnelles, généralisation des équations différentielles et aux dérivées partielles. Plus abstraite par son objet même, cette étude ne peut d'abord être féconde en résultats applicables à la théorie des fonctions. C'est un champ de recherches différent, plus large à certains points de vue, riche en problèmes nouveaux, en notions nouvelles. Sans doute lorsqu'il sera exploré, pourra-t-on en déduire de nouvelles méthodes applicables aux problèmes d'analyse ordinaire ; on ne saurait les préciser dés maintenant. Il est souvent arrivé dans l'histoire des sciences qu'une théorie ait des applications que ses auteurs ne prévoyaient pas, et le fait que l'analyse fonctionnelle ne se soit pas encore révélée féconde en applications pratiques ne doit pas détourner de l'étude de cette science, si attrayante d'ailleurs, au point de vue logique et philosophique, comme généralisation de l'analyse ordinaire.

5. Le passage du fini à l'infini. — Des progrès si rapides que l'ont été ceux du calcul fonctionnel n'auraient sans doute pas été possibles si l'étude de chaque chapitre du calcul fonctionnel n'était facilitée par la connaissance du chapitre correspondant de l'analyse ordinaire, et si le procédé qui permet de passer de celui-ci à celui-là n'était pas toujours le même : le passage du fini à V infini. C'est encore M. Volterra qui a mis en évidence le parti à tirer de l'utilisation systématique de ce procédé.

(1) De même, en analyse ordinaire, on peut distinguer l'algèbre, traitant de problèmes où les inconnues sont des nombres, et l'analyse, traitant de problèjnes où les inconnues sont des fonctions. Ainsi, la résolution de l'équation

V = a^x -h a^x'^+ ... -f- a„ 07" -h ... par la formule

est un résultat d'algèbre en ce sens que l'inconnue ;r est un nombre; mais le fait de considérer ce nombre comme variable donne au raisonnement mathématique une puissance nouvelle, et souvent l'analyse, qui emploie ces procédés, et considère x comme fonction implicite dey, réussit là où l'algèbre pure échoue.

Une fonction continue ^(i) définie dans un intervalle (o, i) est connue d'une manière approchée si, cet intervalle étant divisé en un nombre très grand n d'intervalles égaux, on connaît les valeurs moyennes ;r,,^27 - • ", oCn de la fonction dans chaque intervalle. Une fonctionnelle dépendant de x{t) est alors représentée d'une manière approchée par une fonction /( a:,, .1P2 7 • • • 5 ^n)- L'étude des problèmes concernant les fonctionnelles résultera ainsi de l'étude -des problèmes analogues concernant la fonction f{x^^x^^ . . . , Xn)- H suffit de supposer que n devienne infini pour être conduit à la solution du problème considéré de calcul fonctionnel, et si souvent le procédé employé ne conduit pas à démontrer l'exactitude de la solution, qu'il faut vérifier autrement, il n'en constitue pas moins un procédé de découverte d'une fécondité remarquable.

C'est ainsi que s'est formée, pour prendre l'exemple le plus simple, la notion d'intégrale. La somme

devient infinie si n augmente indéfiniment, mais la moyenne de ces ;^ nombres tend vers une limite qui, l'intervalle considéré étant égal à l'unité, est l'intégrale de la fonction x{t) dans cet intervalle. On voit que l'intégrale généralise la notion de moyenne plutôt que celle de somme, remarque que nous aurons à utiliser dans la suite, et si l'intervalle d'intégration est divisé en intervalles qui ne sont pas égaux. il est tout naturel de donner à chacun des xt un poids égal à l'intervalle correspondant.- Si l'intervalle total n'est pas ^gal à i, la limite de la moyenne sera naturellement, non l'intégrale, mais son quotient par cet intervalle.

Le même procédé de passage du fini à l'infini s'applique à la différentielle totale

et à la limite on est conduit à penser que la variation d'une fonctionnelle U dépendant d'une fonction x{t) définie entre o et i, sera une expression de la forme

oU = / o{t) ùx{t)dt.

C'est la variation considérée par Lagrange et M. Vol terra, qui s'applique en effet à une catégorie fort étendue de fonctionnelles.

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6. La représentation des fonctions par une infinité dénombrable de paramètres. — Nous ne donnerons pas pour le moment d'autres exemples d'application du procédé considéré. Le lecteur en trouvera suffisamment dans la suite. Mais faisons à ce sujet une remarque importante.

On peut envisager d'autres manières de considérer une fonctionnelle comme limite d'une fonction d'un grand nombre de variables. La fonction :r(^) peut être définie dans l'intervalle considéré par la suite des coefficients de son développement en série trigonométrique ou d'u*ne manière plus générale en série de fonctions orthogonales, ou bien si elle est analytique par les coefficients de son développement en série de Tajlor. Une fonction des n premiers coefficients d'un de ces développements conduit, lorsque n augmente indéfiniment, à une fonctionnelle.

Cette manière d'envisager le passage du fini à l'infini présente-t-elle le même intérêt que celle que nous avons indiquée d'abord?

On ne saurait trop nettement répondre : non.

11 ne faut pas en eff'et perdre de vue que, quel que soit le procédé employé pour représenter une fonction :r(^), la fonction est avant tout une succession de valeurs prises parla quantité a? lorsque avarie. C'est cette succession de valeurs qu'il faut toujours considérer si l'on veut ne pas perdre de vue l'origine de la notion de fonction et ne pas se contenter d'écrire des relations formelles sans en pénétrer le sens.

Aucun professeur ne proposerait de donner à un débutant, comme définition de l'intégrale indéfinie, cette propriété que la fonction

a pour intégrale la fonction

c -h a^a: -\- ai- h . . . ~r- a ^ h...,

c étant une constante quelconque. Une telle définition ne permettrait pas de saisir l'origine même de la notion d'intégrale ni d'aborder avec succès les applications du calcul intégral aux proljlèmes ph} siques.

Par contre, on ne peut songer à nier les services que rend, une fois la notion d'intégrale devenue familière, l'intégration des séries trigonométriques ou des séries de puissances.

Nous devons, en abordant le calcul fonctionnel, nous inspirer de

cette double remarque. A chaque problème nouveau, nous examinerons d'abord ce que donne le passage du fini à l'infini appliqué comme nous l'avons dit n"» 4, Il nous arrivera d'utiliser ensuite la représentation d'une fonction par une suite dénombrable de coefficients; en particulier, nous considérerons souvent la représentation d'une fonction par une série de fonctions orthogonales. Mais cela ne doit pas faire oublier que le point de vue indiqué d'abord, qui est celui de M. Volterra, doit rester au premier plan (* ).

7. Indication des questions traitées dans ce Livre. — Nous pouvons maintenant indiquer brièvement les principales questions que nous étudierons dans la suite.

Nous avons déjà dit qu'un traité de calcul fonctionnel pourrait comprendre un chapitre correspondant à chaque chapitre de la théorie des fonctions d'un nombre fini de variables. Notre objet principal sera de généraliser les notions élémentaires du calcul différentiel, la théorie des équations aux dérivées partielles, et la notion d'intégrale multiple.

Dans la première Partie, nous parlerons d'abord de la continuité dans le domaine fonctionnel. Nous étudierons ensuite la variation première et les variations d'ordres supérieurs des fonctionnelles, études liées à celles des fonctionnelles linéaires et des fonctionnelles entières d'ordre fini, comme l'étude des différentielles des divers ordres des fonctions de n variables est liée à l'étude des formes de divers degrés.

La notion de déterminant fonctionnel est fondamentale dans la théorie des fonctions de ai variables, et l'on ne peut en aborder l'étude sans connaître au préalable la théorie des équations algébriques. Nous serons de même obligés de donner quelques indications sur la théorie des équations intégrales linéaires; mais nous nous bornerons sur ce sujet à quelques considérations générales et aux résultats indispensables pour la suite. Nous pourrons ensuite traiter la question des fonctionnelles définies par des équations implicites.

(') Signalons à ce sujet les travaux de M. Bourlet {Annales de rÉcole Normale, t. XIV et XVI), qui aurait pu partager avec M. Volterra l'honneur d'avoir fondé le calcul fonctionnel, s'il ne s'était placé uniquement au second point de vue. M. Pincherle, dans les Math. Ann , t. XLIX, a égalennent publié, avant les travaux de M. Volterra, des travaux où il se place au même point de vue.

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Dans la deuxième Partie, nous étudierons les équations aux dérivées fonctionnelles du premier ordre. Il existe de nombreux types intéressants à considérer. Le plus simple est celui qui résulte de la généralisation des équations aux différentielles totales, et qui se rapproche des équations différentielles ordinaires du premier ordre en ce sens que l'intégrale ne dépend que d'un paramètre, mais qui s'en distingue en ce sens que la différentielle totale considérée peut n'être pas une différentielle exacte, et qu'il j a lieu d'étudier le problème de l'intégrabilité.

Nous étudierons ensuite un autre type d'équations, que nous nommerons équations aux dérivées fonctionnelles partielles, qui généralise les équations aux dérivées partielles comme le précédent généralise les équations différentielles. Nous étendrons à ces équations les notions de caractéristiques, d'intégrales complètes et la méthode d'intégration de Gauchy.

La troisième Partie comprendra l'étude des équations aux dérivées fonctionnelles partielles du second ordre, et notamment d'une équation généralisant celle de Laplace. Cette étude introduisant une formule qui généralise celle de Green, il est nécessaire de généraliser d'abord la notion d'intégrale, ou plus exactement celle de moyenne. Cette généralisation a été obtenue pour la première fois par Gâteaux, en 1914 (voir Butl. Soc. math., igig). Tandis que jusqu'ici l'analyse fonctionnelle présentait avec l'analyse ordinaire une analogie remarquable, la théorie de la moyenne en calcul fonctionnel est quelque chose d'essentiellement nouveau, ne ressemblant à aucune théorie de l'analyse ordinaire. L'étude de cette notion comprendra cinq chapitres de la troisième Partie, un seul étant consacré à l'application à l'équation de Laplace.

Dans le résumé qui précède, les questions concernant la théorie pure sont seules indiquées.

Comme applications, nous considérerons surtout des fonctionnelles liées au problème de Dirichlet relatif à l'équation de Laplace de l'analyse ordinaire.

Le développement de ces diverses théories oblige à utiliser un très grand nombre de notions de l'analyse ordinaire. Pour ne pas exiger du lecteur un trop grand nombre de connaissances préalables, j'ai préféré allonger un peu l'exposé en rappelant sommairement les

lO PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

fondements de quelques théories classiques de l'analyse. C'est ainsi que l'on trouvera des indications sur l'intégration au sens de M. Lebesgue, sur les séries de fonctions orthogonales, sur les propriétés élémentaires des fonctions de Green. Toutefois, dans les quatre derniers chapitres de la dernière Partie, contenant l'exposé de résultats récents et sans doute non encore complètement au point ('), j'ai dû renoncer à donner à l'exposé le caractère élémentaire que j'aurais voulu conserver.

D'autre part, je tiens à prévenir le lecteur que je n'ai pas voulu faire un traité complet de calcul fonctionnel. Un tel traité devrait comporter un exposé développé de la théorie des équations intégrales linéaires, de la question connexe des formes quadratiques à une infinité de variables, et d'une manière générale de la théorie des fonctions d'une infinité de variables, questions sur lesquelles nous ne donnerons que de brèves indications. 11 devrait aussi comprendre la généralisation de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire et l'étude des équations intégro-difierentielles, qui constituent deux beaux chapitres de l'œuvre de M. Volterra; ce dernier surtout, le plus récent, est rapidement devenu classique et a donné lieu à un grand nombre de travaux d'autres savants, et il se rattache naturellement à la notion de fonctionnelle. Mais ces questions nous écarteraient de notre objet, qui est surtout l'étude des équations aux dérivées fonctionnelles, et je ne peux que renvoyer le lecteur aux Mémoires et Ouvrages où elles sont exposées {'^).

(1) PeulTCtre le lecteur Irouvera-l-il que j'aurais «lu, pour publier cet Ouvrage, attendre que celte troisième Partie soit complètement au point. Il aurait fallu sans doute attendre plusieurs mois, peut-être plusieurs années. Dans rintérêt de la Science française, il m'a paru préférable de publier dès jnaintenant les résultats acquis, et de ne pas hésiter à en énoncer d'autres, plus ou moins vraisemblables, que je n'ai pu démontrer rigoureusement; ces questions dont l'étude me paraît mériter d'être poursuivie sont rappelées à la fin du dernier chapitre. Je serai heureux de contribuer ainsi à attirer de nouveaux chercheurs dans ce domaine si vaste et encore si peu connu qu'est le calcul fonctionnel.

(2) Volterra, Sur une généralisation de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire {Acta matematica, t. XII); Leçons sur les fonctions de lignes (Gauthicr-Villars, igiS); Trois conférences sur la généralisation des fonctions analytiques et sur la théorie des vagues ( The ftice Institute; Book of the opening, vol. III, p. io3G-iioo).