CHAPITRE Mil
TRÂNSFORMATlOiNS PONCTUELLES DANS L'ESPACE FONCTIONNEL.
SoMMAiRi: : Notions i^énérales. — Notions sur les équations intégrales de première espèce. — Laquât ions à limites fixes de deuxième espèce, ou équations de Predliolm. — Êqualions à limite supérieni^e variable, ou de Volterra' — Correspondances linéaires continues. — Correspondances dépendant linéairement d'un paramètre. — Transformations non linéaires. — Remarques sur les surfaces de l'espace fonctionnel et sur les transformations infinitésimales. — Equations intégro-difierentielles.
100. Notions générales. — Dans l'espace à n dimensions, iiiic^ transformation ponctuelle est une relation entre un point A, de coordonnées x^^ X2-, -v- ^'iii et un point B, de coordonnées y, , >'o, ...^ y,i. Les coordonnées de B étant données en fonction de ('elles de A, c'est un problème fondamental de résoudre les formules par rapport aux coordonnées de A; c'est le problème de l'inversion de la relation donnée. On traite d'abord le cas linéaire; on a à résoudre un système de relations algébriques linéaires; le problème est résolu aisément par rintroduction du déterminant du système. Dans le cas général, la notion fondamentale est celle du déterminant fonctionnel; si ce déterminant n'est pas nul, on peut, ati moins dans une certaine région, exprimer les coordonnées de A en fonction de celles de B.
Nous suivrons la même marche dans l'espace fonctionnel. Nous étudierons d'abord le cas linéaire, puis le cas non linéaire. Lue difli- • culte fondamentale provient de ce qu'une variété linéaire à une infinité de dimensions peut représenter tout l'espace fonctionnel ou n'en constituer qu'une section; pourtant, elle aura totijours la même généralité, en ce sens que Ton peut établir une correspondance bitinivoque entre les points de deux telles variétés.
Considérons deux fonctions x{t) Gly[t)^ t variant de o à i, représentées par deux points A et B de l'espace fonctionnel. La correspon-
•CEIAP. VIII. — TRANSFORMATIONS PONCTUELLES DANS LESPACE FONCTIONNEL. l3l
■dance entre ces points est linéaire et résoluble par rapport à B si, pour chaque valeur de ^, y{t) est une fonctionnelle linéaire de ûc. Supposons cette fonctionnelle de la forme de M. Volterra. On a
(1) y{t)=j f(S.t)x(s)dt (G </<!).
Le problème qui se pose est de savoir si cette équation peut se résoudre par rapport à x{s). Une telle équation, lorsque la fonction /*(5, t) est finie, est ce qu'on appelle une intégration de première espèce. La fonction /(a-, t) est appelée noyau de cette équation.
Elle ne constitue qu'un cas particulier du problème posé, puisque ■y{t)^ considéré comme fonctionnelle linéaire de x{t)^ peut n'être pas de la forme de M. Volterra; ce cas n'est même pas le plus important. Nous ne nous attacherons d'ailleurs pas à étudier le cas général tel qu'il résulte des considérations des n^* 49 et 50, mais nous nous contenterons de donner quelques indications sur les cas les plus importants. Pour plus de détails, on consultera avec profit le Cours d' Analyse de M. Goursat, ou les Ouvrages sur les équations intégrales de M. Lalesco et de M. Volterra.
101. Notions sur les équations intégrales de première espèce. — Voyons d'abord ce que donne, appliquée à l'équation (i), la méthode du passage du fini à l'infini. Posons
Si= —j Xi = X{ Si) (i — \. 2, ...,/?),
On peut considérer l'équation (i) comme limite du système
(2) yj— ^tj^l -^ C2,j^-2^- • • .+ Cp,jX
p et q devenant iniinis. Mais ce point de vue ne conduit à aucun résultat précis. Si yj = q, la solution du système est, en général, bien déterminée. Si p <C q, il J ^ en général impossibilité. Si p^ q^ il y a en général indétermination. Les trois cas pouvant aussi bien conduire à la limite à la même équation (i), et les conclusions qu'on peut s'al-
tendre à tirer du passage à la limite étant contradictoires, on voit qu'on ne peut pas s'attendre à ce que l'étude du système (2) conduise^ dans le cas général, à une théorie de l'équation (1).
Il n'y a, d'ailleurs, aucune raison de considérer comme plus naturel de prendre p z= q. Gela conduirait à Tidée que l'équation (i), dans le cas général, détermine bien x{s). Or, s'il en était ainsi, en ne considérant que les valeurs de t comprises entre o et -, on aurait indéter-
minalion, et, en posant -: = 2^ et jk(^) = t,(':), on aurait
'n(-^=J f[s,-]x{s)ds,
équation du type (i), t et 5 variant de o à i , et dont la solution serait indéterminée. On voit bien qu'il n'y a aucune conséquence à tirer dw fait que les intervalles de variation de s et t soient égaux, cette circonstance pouvant toujours être réalisée par un changement d'unité' sur l'une des variables s et t.
102. L'introduction de la notion de fonctions orthogonales va nous donner des résultats plus précis. Supposons /(5, t) de la forme
chacune des suites
étant composée de fonctions orthogonales et normales (*). Remarquons que la série ^c^ est nécessairement convergente, si f(s, t) est de carré sommable, car
/ f p{s, t)dsdL=:c\-v-cl-\-...-hcl-{-....
(') Une fonction /(*, ^), de carré sommable dans le carré o<5<i, o<i<i, peut d'ailleurs être représentée par une série de la forme (3), convergente en moyenne. Ce résultat se déduit de l'étude des équations intégrales de deuxième espèce Voir sur ce sujet les Ouvrages cités n° 101 ou le remarquable Mémoire de M. E. Schmidt {Mathematische Annalen, t. LXII et LXIII). Nous reviendrons sur cette {|ucstiort au Chapitre IV de la troisième Partie, dans le cas où la fonction /(s, i) est symé- Iricjue.
CHAP. VIII. — TRANSFORMATIONS PONCTUELLES DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. l33
En posant (G) ai= / ^i{s)x(s)dsj
l'équation (i) s'écrit
Si les suites (4) et (5) sont complètes, on peut développer j'(^) en série, de fonctions 'j'(^). En désignant par [3,^ le coefficient de 'i>«(^), il vient ^^j,^-=^ Cn^-n- Ea série S [3,^ est sûrement convergente, mais Cn tend vers zéro et l'on ne peut affirmer que ^^\ converge. La convergence de cette série est alors nécessaire et suffisante pour l'existence d'une fonction de carré sommable x{^s\ correspondant par la formule (6) aux coefficients a/= — [condition de M. E . Picard).
Cette fonction est alors bien déterminée.
Ainsi, dans le cas où les suites (4) et (5) sont complètes, l'équation (i) établit une correspondance biunivoque entre l'espace fonctionnel tout entier, décrit par oc{s)^ et une partie de cet espace, décrite par j^(^). (Nous considérons ici l'espace fonctionnel représentant l'ensemble des fonctions de carrés sommables.) La partie décrite par j'(^) est définie par des conditions de continuité.
Pour se rendre compte de la nature de cette condition, plaçons-nous dans le cas particulier où f(^s,t) = o, si s <C t et i si 5 > t. L'équation (i) s'écrit alors
y{t) = / x(s)ds.
Le champ fonctionnel décrit par jk(0 ^^^ celui des fonctions s'annulant pour ^ == o et admettant une dérivée de carré sommable; cette dérivée est x{s). Dans ce champ, la définition naturelle de la distance de deux fonctions j'( ^) et Y(^) est donnée par la formule
,->= f [Y'(t)-y(t)]^dL
Avec cette définition, et la définition habituelle dans le champ des ^(i), la correspondance entre les deux fonctions est continue; le point représentant l'une des fonctions tendant vers une limite, celui représentant l'autre tend aussi vers une limite. Avec la définition
l34 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL..
habituelle de la distance dans le champ clesy (^), .x(s) ne dépendrait évidemment ]>as dey(t) d'une manière continue.
Appliquons maintenant la méthode générale. La fonction f{s^ t} considérée s'écrit
f(s, ^) = 7 ^— ^ ces ( 71 -h -] ~s sin ( /i h ]r.t..
La relation entre les développements correspondants de x {s) et y{t)est alors
X{s) =^^y.nC^)Syn-^ W^,
y{t) =^S. ^" sin ln+-\T.t = "V 8,, siii in ^ -\-t
(comme il est bien évident, puisque y est la primitive de x), et la condition de M. Picard est que la série 2 ( /i H — ) (S;,, ou plus simplement la série -/i- |3,'^, soit convergente. Cette condition est équivalente à celle que y{t) soit une fonction s'annulant à l'origine et ayant une dérivée de carré sommable.
103. Des circonstances toutes différentes se présentent si les suites (4) et (5) ne sont pas complètes toutes les deux.
Supposons d'abord que la suite (4) soit complète, mais non la suite (5). Des conditions sont alors nécessaires pour que y{t) soit représentable par une série de fonctions '\{t). Si y{t) vérifie ces conditions, on peut continuer comme dans le cas précédent. On \oit donc que le problème est, en général, impossible, jamais indéterminé.
Supposons maintenant la suite (5) complète, mais non la suite (4)- Si la condition de M. Picard est vérifiée, on peut trouver une infinité de fonctions x{s) véritiant les relations (6); elles sont représentées par la formule
\{s) étant une fonction orthogonale à toutes les fonctions 'o„[s).
Si, enfin, aucune des suites (4) et (5) n'est complète, on trouve : d'une part, des conditions de possibilité imposées à )'(^); d'autre part, indétermination pour jk(-^)- H n'y a aucune rehition entre le
CIIAP. VIII. — TUANSFORMATIOXS PONCTUELLES DANS L ESPACE FONCTIONNEL. U^)
nombre de conditions imposées à y{t) et le nombre de paramètres dont dépend y{s)^ le premier de ces nombres dépendant de la suite (5) et le second de la suite (4)-
On ol)tient ainsi des circonstances toutes différentes de celles rencontrées dans l'étude des correspondances linéaires dans l'espace à n dimensions. La circonstance essentielle de cette étude est cjue, si le déterminant des coefficients est nul, ainsi cjue ses mineurs, jusqu'à l'ordre p — i , les y doivent vérifier p conditions de possibilité, et les X dépendent du même nombre p de paramètres; d'ailleurs, en i^énéral, le déterminant n'est pas nul, et le problème est toujours possible et déterminé.
Ces circonstances ne s'étendent pas à l'espace fonctionnel. 11 j a correspondance biunivoc|ue entre les fonctions
X(.v) = '^ùa.fiOnis) et les fonctions
telles cjue ^((^ converge, mais non entre des fonctions quelconques de carrés sommables.
10 i. Nous allons maintenant étudier des cas dans lesquels la théorie ordinaire des équations linéaires se généralise, et dans lesquels, s'il y a p conditions de possibilité, la solution dépend de p paramètres arbitraires.
Un premier cas est celui où la fonction y'(5, /) est symétrique. On peut montrer, dans ce cas, (jue les deux suites (4) et (5) sont identiques. Elles sont alors complètes en même temps ou incomplètes en même temps, et, dans ce dernier cas, il faut ajouter le même nombre p de fonctions pour les compléter (ce nombre étant fini ou infini). Ce cas vérifie donc l)ien la condition énoncée, à cela près cpi'il faut tenir compte de la condition de M. Picard.
Deux autres cas sont ceux des écjuations intégrales de deuxième espèce et des équations à limites variables. Ils vont nous donner des exemples de correspondances bien définies dans le champ de toutes les fonctions de carrés sommables, l'équivalent de la condition de M. Picard n'existant plus. Nous verrons ensuite un cas plus général.
105. Équations à limites fixes de deuxième espèce, ou équations
l36 PREMIÈRE PARTIK. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.
de Fredholm. — On appelle ainsi l'équation intégrale linéaire
(8) y(t) = x(t)-^X f{s,t)x{s)ds {o<t<i) (i).
Les équations de ce type se présentent fréquemment dans les applications. Si t est un paramètre fixant la position d'un point sur un contour^ et si ^ el y sont des grandeurs physiques définies en chaque point, il arrivera souvent que la valeur de y{t) en un point soit une fonctionnelle linéaire de x qui dépende spécialement de sa valeur ^(/) au même point. On a alors une équation du type (8).
Dans ce cas, la solidarité qui existe entre les valeurs de x et y en un même point permet de déduire des conséquences du fait que ces deux fonctions sont définies dans le même intervalle. On peut espérer obtenir des résultats généralisant mieux la théorie des équations algébriques linéaires que ceux relatifs à Féquation (i). Nous allons y arriver par la méthode de passage du fini à l'infini.
Posons
c ■ ■ — • o" • — nr ( e ■\
Xi= x{Si)
tj = l.
y^-Aj.
^'ij= 7/(^/.
tJ) (i,
f^'équation (8) apparaît comme la limite du système
JK,i== XCi,„ 371-4- XC2,« X^^. ..-\-{\-^\Cn,ii)JCn.
Ce système diflTère du système (2) par l'addition du terme i dans les coefficients de la diagonale principale. Cela change son aspect, et l'on peut obtenir, en le résolvant, des formules sur lesquelles le passage à la limite s'efï'ectue sans difficulté. Indiquons seulemeni
(') La présenc(; du facteur a n'augmente en rien la généralité, puisqu'on peut remplacer a/(s, t) par/(*, t)\ elle facilite i'evposé de la théorie.
CHAP. VIII. — TRANSFORMATIONS PONCTUELLES DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. l3;
comment se présente le calcul pour le dénominateur
XCi 2 I -+- XC2,2
A Cl
Xe«,2
Développons-le en série suivant les puissances croissantes de A. Le terme constant est i . Les coefficients de A et \- sont respectivement
2làfi-^
'.y et tendent vers
ie facteur - provenant de ce que les deux termes obtenus en permu-
taiit i et j\ qui ne doivent être comptés que pour un, sont comptés deux fois dans le développement de l'intégrale double ; ce dernier développement introduit aussi des termes pour lesquels i^^Ji mais il n'en résulte aucune difficulté, leur somme tendant vers zéro j.
D'une manière générale, les termes successifs du développement de A„ suivant les puissances croissantes de X tendent vers les termes correspondants de l'expression
f fit,, t,)dt,
f{tu h) f{ti. h) ■ fit P. ty)
JXf^. tp)
fitp, t,>)
dty dti H-.
X dti dt-i . . . dt,y
expression qu'on appelle déterminant de l'équation (8).
Le numérateur de l'expression qui donne xi se déduit de A„ en remplaçant paryi, y^^ . . . , y^ les éléments de la diagonale de rang i.
l38 l'riE.MIKIŒ PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.
Les coefticients, qui sont des mineurs de A,,, sont infiniment petits avec — > à l'exception du coefficient de jv, mineur correspondant à un élément de la diagonale principale; c'est un déterminant analogue à A/,, et qui a même limite. On a donc des expicssions de la forme
A„x/-h C,-,ur\-+- G/,5.r2 -4- . . . -+- Cf,uyn
Xi — y
les coefficients G; ; étant des infiniment iietits, de Tordre de — • A la limite, on est conduit à une expression de la forme
(lo) œ{s) =y{s)-^\ I F{s, t)y(t) dt,
F(5, t) désignant une fraction, dont le dénominateur est A. et dont h" numérateur est une série analogue à celle qui donne A.
Ainsi, nous sommes conduits à une expression de œ{s) en fonction de y tout à fait analogue à celle qui donne y{l) en fonction de oc. Le Jioyau f{Sj t) est seulement remplacé par la fonction F(.s', l), qu'on appelle noyau r es o ha ni.
Bien entendu, la méthode que nous venons d'indiquer n'est qu'une méthode d'induction, dont on pourrait difficilement tirer la démonstration rigoureuse de l'équivalence des formides (8) et (lo). M. Fredholm, à qui est due la théorie de l'équation (8), a vérifié directement l'exactitude de la solution donnée par la formule (8). Contentons-nous d'énoncer ses principaux résultats :
i" Le noyau /(5, t) étant supposé fini, la série A, et la série analogue qui représente le numérateur de F (5, ^), sont toujours convergentes. Ce sont des fonctions entières en À.
2*^ Si le déterminant A n'est pas nul, la solution de l'équation (8) est unique, et donnée par la formide (10).
3'^ Si A, qui ne peutêtre identiquementnul, puisque A=: 1 pourX = 1 , a une racine d'ordre A pour la valeur considérée de A, la fonction y{t) doit vérifier h conditions de la forme
/ Oi{t)y{t) dt = o (1—1^2, . ..,/().
Si ces conditions sont vérifiées, l'équation (8) admet des solutionsdépendant linéairement de h constantes arbitraires.
ClIAP. Vin. — TRANSI ORMATIONS PONCÏl ELLES DANS L ESPACE FONCTIONNEL. Iô[)
Les circonstances f|Lie Ton peut rencontrei" dans l'étude de Féqualion de Fredbolm sont donc exactement les mêmes c[ue l'on rencontre dans Fétude des systèmes d'équations algébriques linéaires.
Pour les équations d'un type plus général, sans avoir formé explicitement dans tous les cas l'expression qui généralise le déterminant, nous dirons qu'une relation linéaire, donnant y (^) en fonction de :r(.ç), admet un cléterminanl, et que celui-ci n'est pas nul, lorsque la résolution par rapport à x est toujours possible et déterminée dans le cliamp des fonctions de carrés sommables.
106. Équations à limite supérieure variable, ou de Volterra. — Elles peuvent être de première ou de deuxième espèce. On a ainsi les deux types d'équations
(il) y{t)= / f{s^t)x{s)ds,
Jq
( I '.>.) ' y ( t ) = ./■ ( z' ) -h À / /(>, t ) xi s) cls.
Si t varie de o à une valeur ï, on peut se proposer de déterminer la fonction x dans le même intervalle (o, T).
Ces équations peuvent être considérées comme des cas particuliers des équations à limites fixes. Il suffit de prendre le noyau égal à /{s, t) pour .V <^ t et nul pour s'^ t. lia discontinuité pour s = t^ bien loin de rendre la résolution plus difficile, la facilite. Même dans le cas de l'équation de première espèce, il en résulte une solidarité entre les valeurs de .x cl y pour les mêmes valeurs de la variable, et cela est, comme nous le savons, de nature à faciliter l'intégration. On a, en effet, en dérivant l'équation (i t),
(i3) y'{r)=f(f, f).r{t]-h 1 f'tis, t)x(s)ds.
Si/ (o, o) n'est pas nul, et T assez petit pour que/(/, t) ne s'annule pas dans l'intervalle considéré, on peut prendre comme fonction inconnue y (^, t) x(t), et l'on est ramené à une équation de deuxième espèce, plus facile à intégrer. D'ailleurs y{o) = o est une condition évidemment nécessaire pour que l'équation (ii) admette une solution, et, dans cette bypotbèse, les équations (i i) et (i3 ) sont équiva-
l4o PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.
lentes. 11 suffit donc d'étudier Féquation de deuxième espèce, que nous prendrons sous la forme ( 12 ).
Les formules générales de M. Fredholm sont évidemment applicables. Mais la solution du problème actuel est beaucoup plus simple, et a d'ailleurs été obtenue par M. Volterra bien avant les travaux de ^I. Fredholm.
Formons la solution par la méthode des approximations successives, l'approximation Xn+t (t) étant déduite de la précédente par la formule
yi t) = Xn^^{t) -^-l fis, t)x-n(s\ ds,
d'où l'on lire,
^n-hl(t) — Xn(t)-^l / f{ S. t)[Xn(s) — X'n-iis )]ds = O.
Si les fonctions /(^, t) et Xiis) — Xo{s) sont finies,' et recpectivement inférieures en module à des nombres K et Oli, on en déduit
(l4) \Xn + i(t) — X„(t)\< -j ,
inégalité qui se vérifie immédiatement par récurrence. 11 en résulte, en vertu des principes bien connus de la méthode des approximations successives, que oCn(t) tend uniformément, pour | t\ < T, vers (ine .limite x(t)^ solution de l'équation (12 ), et qu'il n'y a pas d'autre solution.
Si les fonctions y( t) et fis, t) ne sont pas finies, mais de carrés sommables, on peut prendre pour :ro{t) une fonction de carré sommable quelconque, et le module fonctionnel de ,r„^t — Xn (et non son module maximum) vérifie l'inégalité (i4)- On en déduit la convergence en moyenne de x^it) vers une fonction de carré sommable, solution de l'équation (12).
En prenant .ro(^) =yi^), on obtient .t(^) sous la forme d'une séri(; entière en X.
Ces résultats apparaissent bien comme un cas particulier de ceux relatifs à l'équation de Fredholm; dans ce cas le déterminant A n'est jamais nul; alors la solution est toujours unique et déterminée, et est une fonction entière de A.
107. M. Lalesco a montré l'existence d'un lien étroit entre l'écpia-
CHAP. VIII. — TRANSFORMATIONS PONCTUELLES DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. l4l
tion de Volteria et les équations différentielles linéaires. Soit à trouver la solution de l'équation
s'annulant pour ^ = o ainsi que ses /i — i premières dérivées. On peut la former par approximations successives, en prenant comme
inconnue auxiliaire -j— =: :r(t). On en tire
^^=j^ u-i)! "^^^^^ (^ = 1,2, ...,/0, et Fécjuation (i 5) s'écrit
yit) — X{t)-^l f(s, t)x(s) ds,
avec
fis, t) =Mt) ^f,{t){t- s)+...-^fn(t) ^ |~^\"^' ■
On est donc ramené à une équation de Volterra, dont le noyau, considéré comme fonction de s, est un polynôme. La méthode des approximations successives conduit sans difficulté à la solution. Le fait que f{s^ t) soit un polynôme en s n'apportant aucune simplification dans la méthode, l'application à Téquation (i5) de la méthode des approximations successives devait nécessairement conduire à considérer l'équation de Volterra sous sa forme générale.
108. Correspondances linéaires continues. — Soit un point A représentant une fonction de carré sommable x(t), et restant à l'intérieur de la sphère
i xHt)dt = i [ou II .r(^)|| = i].
Si un point B représentant une fonction de carré sommable dépend linéairement de A, il décrit une région (volume ou hypersurface) que nous pouvons appeler ellipsoïde. On peut se demander si la distance de B au centre de l'ellipsoïde est limitée supérieurement. La réponse est affirmative.
En effet, dans riiy})othèse contraire, on pourrait trouver une suite
ï4'2 PREMIÈHI-: PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CAIJUI, FO-NCTIONXr.I .
de fonctions
j'i (ri, ;ro('/ >i . . . , x„(t), . . . ,
auxquelles correspondent, dans la correspondance étudiée, des fonc;lions
les fonctions 7,,/( / ) étant situées sur la splière ( i()), et les À/^ augmentant indéfiniment. Choisissons nne suite de coefUcients a,i tels que ^r/l=: I et que I^K^al augmente indéfinimenl. A la fonction
a^i t ) = £] aiXii i ) -h e.>a-2.r^{t ) -^. . .-^ ^ii<^( n-'' a^ 0 ~ • • • i
les z étant tous égaux à zb i , correspond la fonction
Désignons pary,^(^) la somme des n premieis termes de y{t). et choisissons £„ de manière que
2/i A// «» / y?i-\ (J)'''^n^ t) dt ;; ().
On a évidemment
f yht.)cn> f yi^^U)
dt -h X;, «,7^ X^ rt| -f- X' cï!^ -:- . . . -h X,' r/J;.
Cette expression augmentant indéfiniment avec /i, la fonction r(/) ne serait pas de carré sommable. Le tliéorème est donc démontré.
Il en résulte que, si A reste dans une région finie, B reste dans une région finie, ou encore, ce qui revient au même (voir \\^ 39), que B dépend de A d'une manière continue.
Si la correspondance entre A et B est r(''solu])le par rapport à B, le
BB' , rapport -^—7 ( B' étant le point qui correspond à A') a non seulemciU
un maximum, mais un minimum. En d'autres termes, l'ellipsoïde correspondant à la sphère (16) a ses demi-diarnélres compris enire une limite inférieure positive et une limite su|)(''rieure finie.
109. Correspondances dépendant linéairement d'un paramètre. — Posons
Ur ) y(t) = X{t) -hlz(f),
CIIAP. Mil. — ÏUAXSFOKMATIOXS l'ONCTUKLLI^S DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. l43
z{t) dépendant llnéairemenl de .x(t} de la manière considérée au numéro précédent, la limite supérieure de ||^(^)|| sur la sphère ( i() )
étant désignée par K. Je dis que, pour p^l^ -jt' la relation ( i-) est
résoluble par rapport à xi t).
Nous allons former la solution par des approximations successives. Prenons comme relation de récurrence
{ I B ) y{t) = Xn-^\ ( t)-^\ Zn ( t ),
ZniJ ) désignant ce que devieiît z{t) pour la détermination x„ de jc. On en déduit
^,^4-1(0 — ^',i(t) -+-'k\Zn(t) — Z,i-iit)] = 0, |i X.^^i ( t) — Xn(t) P K I X 1 II X„{J) — Xn-i U) \\ ^ Dit Mj X l'S
OW étant indépendant de n. Donc, si K|X|-<i, x„{t) converge en moAcnne a ers une fonction :r (^) de carré sommable, et la formule (18) montre à la limite que cette fonction vérifie Téquation (17). D'ailleurs, si X(^) est une solution de cette équation, on a, par une méthode analogue,
\\xU)-x{t)\\^^K\\\ |iX(/)-x(n|i,
€e qui prouve que X(^ ) et :r(^) sont identiques. La solution trouvée €st donc unique.
On voit ainsi que, pour | A | < tt > la solution (i-) définit une correspondance biunivoque et continue ^ntre les deux fonctions de carrés sommables x et y. A une fonction x{t) de module fonctionnel égal à i, correspond une fonction y(t) de module fonctionnel compris évidemment entre 1 — j A j Iv et 1 + | X| K.
110. Transformations non linéaires. — Il est facde d'étendre le raisonnement précédent à des équations non linéaires. Partons de l'équation linéaire
(.i\)) yii) = p\[^{s)\t] I,
F étant une fonctionnelle linéaire de x, et supposons que cette équation admette un déterminant non nul, de sorte ciue le i\apport-F-r des
11-^ Il modules fonctionnels ait une limite inférieure positive m.
l4i PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.
Considérons l'équation non linéaire
déduite de la précédente par addition d'une fonctionnelle G nulle pour j^ = o et telle que la différence
G|[X(5)l/]|-Gl[x(>,)|;]l.
ait son module fonctionnel inférieur à K||X(5) — ^('?)||7 tant que les fonctions oc (s) et X(5) sont situées à l'intérieur d'une sphère de centre R ayant l'origine pour centre. '
Cherchons à former par approximations successives la solution x( s) de l'équation (20). Prenons comme première approximation la solution .^0(5) de l'équation (19), et formons les approximations successives par la formule
y(t) = F 1 [Xi^i(s) 1 ^11 + G I [xi(s) \t]l
d"où l'on déduit
F I [.riis) — Xo(s) \t]\ -h G\ [j^ois) | ^] | = o, F I [.ri^i{s) — Xi{s) \t]\ = G\ [xi-i(s) | ^] | G ] [a:i{s) \ t] \ u>o).
Ces formules définissent sans ambiguïté toutes les fonctions r/, et l'on a, pourvu qu'elles restent à l'intérieur de la sphère de rayon R,
||:r,-.ro| <K|lxol f^^lljO)!!,
I|;r,•^,-^,l|<^||:r,--.r,.lI|<()^y"'|l^(^)ll.
De cette formule résulte la convergence des approximations vers une solution de l'équation (20), poursu que K <^ /?i, et il n'y a évidemment pas d'autres solutions dans le voisinage de l'origine.
Ce raisonnement suppose que l'on ne sorte à aucun moment de la sphère de rayon R. 11 suffit pour cela que
c'est-à-dire que y{t) ait son module fonctionnel au plus égal • On voit donc qu'il y aura correspondance lûunivoque entre les
CHAP. VKI. — TRANHFOliM.VTIOXS lOXCTl KLLKS DANS L ICSPACE FONCTIONNEL. IJS
poiiils A et B rcprésciitaiit les deux fonctions x ety, tant que ceux-ci restent dans des l'éij^ions suffisamment petites, mais finies, entourant l'origine.
On peut apj)li<[uer ce résultat à une relation de forme presque quelconque, si l'on connaît \n\ système de [)oints Ao et B^ qui se correspondent ; ./•„ <'t r„ désignant les fonctions représentées pai* ces points, mettons cette relation sous la forme
(21) y{ i ) — J^'o< I » --= F 1 [.r -~x^\t\\-\-G\[x —Xii\ t\ |,
1^' désignant dans le second memijre la partie du premier ordre par rapport à ./• — ^ .^o (C'est-cWiirc que F|[6j:|/J| est la variation du, second membre au point Aq).
Si l'c'quation linéaire
yU)—y,,(t)^¥\[x — x^\t]\
n'a pas un déterminant différent de zéro, on ne peut évidemment pas s'attendre à ce que la correspondance définie par l'équation (21) soit résoluble par rap])ort à la fonction x. Si, au contraire, elle a un <lé terminant différent de zéro, la fonctionnelle G vérifiera presque toujours dans le \oisiiiagc de Ao la condition indiquée plus liant; si sa variation première est continue à la Lipschitz elle la vérifiera, dans une certaine sphère de centre Ao, non seulement pour une valeur convena])le de K inférieure à m^ mais pour K aussi petit que l'on \eut. On a alors une correspondance biunivoque entre les points A et B dans des petites régions entourant respectivement Ao etBo.
111. Si l'on sort du point de vue local, il j a déplus grandes difficultés. Lne des questions les plus importantes est de chercher combien une équation, de forme absolument quelconque par rapporta .^(^), admet de solutions dans un volume donné. La question analogue, dans le cas de l'espace ordinaire, et résolue par la notion de l'indice de Kroneclver, qui s'exprime par une intégrale de surface. On ne peut songer à aborder sa généralisation avant d'avoir étudié l'intégration dans le (h)maine fonctionnel, ce que nous ferons dans la troisième Partie; mais, même après cette étude, le problème considéré semble encore très difficile (^voir troisième Partie, n" 148, 8").
Ll';VY. 10
l46 PREMUNIE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.
112. Remarques sur les surfaces de l'espace fonctionnel et sur les transformations infinitésimales. — Dans l'espace à ii dimensions, les surfaces conlinues à n — \ dimensions jouissent de la propriété de constituer une séparation entre deux régions, telle 'qu'on ne peut jKas passer de l'une à l'autre sans traverser la surface.
Dans l'espace fonctionnel, il existe également des surfaces jouissant de cette propriété. Telle est par exemple la sphère ||;r|| = R. En restant dans le champ des fonctions de carrés sommahles, (Ui ne peut passer par un mouvement continu d'une fonction de module fonctionnel inférieur à R à une fonction de module supérieur à R sans qu'une fonction intermédiaire soit exactcmeni sur la sphère considérée.
A l'inverse de ce qui se passe dans l'espace à n dimensions, ces surfaces S, qui jouissent de la propriété d'être la frontière d'un volutne, ne peuvent pas être caractérisées par leur nombre de dinu;jisions. Nous savons qu'on peut, par exemple, établir une correspondance biunivoque entre l'espace fonctionnel et une de ses sections planes P; la surface S correspondra alors à une \ariété du plan P, qui limitera une région de ce plan, mais non une région de l'espace; si elle divise le plan P en deux parties V ^ et Po, on pourra, en sortani du plan P, passer de l'une à l'autre sans traverser la variété V. Ou voit donc que la propriété de constituer la froulière d'un vohnne, qui dans l'espace ordinaire se conserve en général par des transformations ponctuelles, se perd au contraire en général. C'est une des conséquences de cette circonstance que le nombre co des dimensions de l'espace fonctionnel étant infini, rien ne distingue les uns des autres les nombres co, oj — i, (o — 2, .... La géométrie (et en pailiculier Vanafysis siUis) est la même dans l'espace et dans les sections vérifiant un nombre fini de conditions linéaires.
Mais ces circonstances ne peuvent pas se produire pour une transformation infinitésimale
la fonctionnelle G étant infiniment petite avec A. Si X est suffisamment petit, cette relation est du type étudié n*^ 110 et il y a correspondance biunivoque entre oc(t) et /(/). A un volume 'décrit par le j)oint représentant x{i) correspond un volume très peu difiéreul décrit ])ar le point représentant jk(^)- Par suite, à une surface, froii-
CHAP. Vlil. — TRANSFORMATIONS PONCTUELLES DANS L ESPACE FONCTIONNEL. 147
tière d'un volume, correspond une surface in(îniinent peu difïérente, qui est également la frontière d'un volume. A une surface définie par /? conditions d'égalité correspond de même une surface infiniment voisine définie par p conditions d'égalité.
La déformation de la surface est d'ailleurs bien définie ( indépendamment de la loi de correspondance entre les points de la surface initiale et ceux de la surface déformée), si Ton se donne les p composantes normales du déplacement de charpie point. Ainsi la déformation d'une surface frontière c]<' \olume, dépendant d'un paramètre A, est bien définie par la donnée en chaque point du dépla-
ement normal ô/i =: L <;/a. Si la fonctionnelle l dépend, d'une manière continue, du point de la surface, la surface déformée est
ncore une surface définie par une seule condition d'égalité, quand a ;st assez voisin de la valeur initiale; mais il peut arriver, naturellement, que ce caractère disparaisse quand A tend vers une certaine limite A< .
113. Équations intégro-dififérentielles. — Considérons un groupe de transformations, obtenu par répétition d'une transformation infinitésimale. Chaque point décrit une ligne, qu'on peut obtenir par intégration de l'équation
' '^.2 ) o./-( / ) — ^^ I I .r I *^j I cl A.
On peut dire aussi que la fonctionnene I' (h'Iinit un vecteur en chaque point, et la ligne en question (^st une ligne de force de ce <'liamp de vecteur.
Si la fonctionnelle F est linéaire el de la forme normale de M. Volterra, l'équation ( •.i'2) s'('crit
'- 0 ou encore, :r étant une fonction de t et A,
Dans des cas plus généraux, la fonctionnelle F pouvant être représentée par une série de Ta^dor, on aura au second meml)re une
l4B PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL lONCTlONNEL.
série d'intégrales de divers ordres et eontenanl ./ à divers degrés. L'équation aura alors le caractère d'une équation dilierentielle par rapport à la variable A, et d'une équation intégrale par ra])poi't à l'autre variable. Elle est dite équation Lntégro-dlfft'renlicHc.
11 peut d'ailleurs arriver qu'elle perde ce caractère, si, par exenqjle, la fonctionnelle V est une fonction de ./'(^) et .r'(^); il
viendra
dx . / ôx \
Oh •' \ ' ' ôt I
et l'on aura une équation aux dérivées partielles ordinaires. Il nous arrivera de comprendre ce cas sous la désignation d'équation intégro-difFérentielle. Gela simplifiera le langage pour la suite. Mais ce cas sera, en général, un cas difficile pour le développement de la théorie. Gela tient à ce que, dans ce cas, la fonctionnelle F est continue d'ordre i seulement, tandis que pour les équations intégrodifîerentielles proprement dites, elle est continue d'ordre o, la
dérivée -^ n'intervenant pas. Il en résulte que pour ces dernières on
peut aisément former les solutions par des approximations successives, tandis que la démonstration de rexistence des solutions des équations aux dérivées partielles donne lieu, comme on sait, à plus de difficultés.
L'une ou l'autre acception des équations intéguo-différenlielles ])artielles peut d'ailleurs se généraliser aux cas où, au lieu de deux variables t et A, on en a un plus grand nombre, l'équation a} ant le caractère d'équation intégrale par rapport aux unes et aux dérivées partielles par rapport aux autres (^). Telle sera l'équation
r^ I r - 1 - 1 àx( f, A, IX) dxit, X, !Jl )
F \xis\A, iJ.)\ ■ \. ' , 7-^^' ^
(les notations ayant la signification indiquée au n*" 8).
(') Une équation du type
dx(t)
dt
- f fis, t)x
h{i) x{i) -h / /{s, t) xis) (/s =-- ç(c/t).
qui apparaîtrait comme inléj,'raie et didérenticlle par rapport à la même variaMe^ se ramène à une équation intégrale en prenant -j- comme inconnue auxiliaire.
CIIAP. VIII. — THANSFOHMATIONS PO.XCTL KLLKS DAXS l'kSPACK rOXGTIONNKL. l49
M. \ Ollcria a (ail une étude approi'oiirlie de c'cs équalions inlc'orodlfférenlielles, qui interviennent dans un i;rand noml)re de {)rol)lèmes physiques, Fiin des jj;roiipes de \arial)!es eomprenant la valable temps, l'autre les \ariables qui déterminent l'état du système étudié. L'exposé de ces tra\aux, qui se rattachent à ralgèl)re fonctionnelle plutôt qu'à l'analyse fonctionnelle, puisqu'd s'agit de problèmes où les inconnues sont des fonctions, scn^tirait du cadre que nous nous sommes tracés. Nous exposerons seuleuient au ('chapitre 1 de la deuxième Partie la méthode d'approximations successives dont il \ ient d'être question. Pour le reste, nous ne pouvons que renvoyer aux magistrales leçons de ^I. A Olterra {Leçons sur les fonctions de //4>7?e.ç; Gauthier-A illars, i()i3).
