CHAPITRE I

LES ÉQUATIONS Al\ J)É11IVÉES FONCTIONNELLES GÉNÉRALISANT LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES.

SoMMViRK : Définition des rquations étudiées dans ce Chapitre. — Réduction à une équation dilléreutielle. — Cas de fonctionnelles dépendant de paramètres arbitraires. — La condition d'intégrabilité. — Cas de fonctionnelles dépendant de paramètres arbitraires. — Exemples d'équations complètement intégrables. — Cas des fonctions d'une Mj^ne et de deux points.

I. Définition des équations étudiées dans ce Chapitre. — Les équations par lesquelles nous allons eommencer cette étude constituent le type le plus simple d'équations aux dérivées fonctionnelles. Nous les appellerons dans la suite ér/ nations aux dérivées fonctionnelles ordinaires ou simplement équations aux dérivées fonctionnelles. Elles se déduisent, par le passage du fini à l'infini, de \ équation aux différentielles totales

(i) du = pi dxx -^ Pi doCo-h . . .-^ pn dx„,

\éri(iée par une fonction u de n variables ^<, x^-, • • • , oCn-, les coefficients/> étant des fonctions données de x^^ x^., . . . , Xn et de u.

On sait que la tlu'^orie de ces équations repose sur deux circonstances fondamentales :

1** Si le point A avanl pour coordonnées :r,, x-^^ ..., Xn dans

l espace à n dimensions décrit une ligne L, son déplacement s'e\piiinant en fonction d'un paramètre À, Féquation (i) qui donne la varialion de u se réduit à une équation difierentielle du premier ordre en À et u. La fonction u est donc détinie sur la lii;ne L si l'on se donne sa valeur en un point de cette ligne.

.'>." Si l'on se donne la valeur ii^ de la fonction a en un point A, et qu'on veuille déterminer sa valeur ^^j^ en un autre point R, on ])eut j arriver en considérant une ligne L allant de A à B. INJais il ])eut arriver que la valeur trouvée pour u^^ dépende du choix de la ligne L; dans ce cas, il n'existera pas de fonction u prenant la valeur donnée en A et vérifiant l'équation (i). Les conditions pour que cette fonction existe, c'est-à-dire pour que i(y^ ne dépende pas du clioix de la ligne L, sont dites conditions d' intcarahilitâ de léqiia- /fo/i(i)^ ou conditions pour que du soit une différentielle exacte ('). On sait qu'elles s'obtiennent en écrivant que

dpi dpi dp, dpi . .

Si ces conditions sont identiquement vérifiées, Fé'quation (i ) est dite complètement intégrablc^ et la solution cherchée existe quelle que soit la valeur donnée u^- Si elles sont incompatibles, l'équation (i) n'admet pas de solutions. Si, sans être identiquement vérifiées, elles sont compatibles, elles définissent une fonction u(X^^X2. • . -, x,i) (OU plusieurs fonctions); pour que l'équation ( i) admette une solution, il faut que cette fonction (ou une de ces fonctions) vérifie cette équation.

Si nous passons à la limite, 7i devenant infini, l'équation (i) devient

su= f'/ii

ce qu'on peut aussi écrire

(3) u:.n=/i[^(oiu, .]|.

La recherche des fonctionnelles Ij de la fonction x(t) qui vérifient cette équation est un problème analogue à la recherche des solutions

(') Voir sur ce sujet la Noie qui tciMiiinc ce Cliapilrc.

CIIAP. T. — KQL'ATIONS AUX DKIUVÉES FONCTIO.NNKLI.KS. l53

de l'équation ( i ). ISOus allons retrouver les d(Hix eirconstanees fondamentales signalées à propos de cette équation.

2. Réduction à une équation différentielle. — Considérons une famille de fonctions x(^t) dépendant d'un paramètre X. La fonctionnelle U se réduit pour ces fonctions à une fonction 'f (a ) de A, et la fonction /à une fonction de A, L), t. L'équation #2 ) se réduit alors à une équation différentielle du premier ordre qui détermine '^ÇK) en fonction de \ si l'on connaît sa valeur initiale Lq pour A= o.

Parmi les méthodes connues pour définir la solution d'une équation différentielle, celle qui s'applique le mieux au cas actuel est la méthode d'approximations successives de M. Picard. Nous allons l'appliquer en supposant

ç(^) ayant pour module fonctionnel i, c'esl-à-dii'c vérifiant la condition

(4) / lHt)dt^^

et nous montrerons que le rayon de convergence des approximations aune limite inférieure indépendante du choix de la fonction ç(^). En d'autres termes, nous allons élablir la convergence des approximations à rintérieur d'une sphère de l'espace fonctionnel ayant pour centre le point A» qui représente la fonction x{t).

Pour établir ce résultat, nous supposerons déterminées des constantes R, C, M, K telles que, pour

o<X<R, |U-Uo|<C, |V-Uol<C, on ait

(5) f p\\,,it)\\},,'.]\dz<M\

(6) f J/|[^(0|U, T]j-/l[^(0|V, .]1|^^T<KKU-Vp. «^ 0 ■

Les approximations seront définies par la formule

l54 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

d'où l'on déduit

o„{X)-o,^,{l)= f du f \f\[x,{t)-r-iJ.'^U)\^,,^,{ix),'z]\

-/|[-^o(/)4-.a^(OI?;.-.(;^), ^]l|^(T)rf^- D0llC, tant que l'on a

(8) |cp,(;jL)— Uol<C (t = I, 2, ...,/?-!, :Jt<X),

on a, d'après ( /[ 1 et ( 6),

I cp/,(X) — o;,i(X) I < / ^[-'-'^1 ?/;-i(:^) — 9/^-2 ([j-) 1

et, par suite, en tenant com|)te de ( 5),

|?i(X)-Uo|<MÀ, lç2(>0-?i(>01<KM -,

lcp/,(A)-cp/>-i(X)l<K/-iM —

d'où

I r/.(0 - l'o 1 < -^ (^Ka h- K^ - H-. . .+ — ^ j < - , e'v)-- I).

On voit alors que, tant que \ ne dépasse pas la plus petite des quantités R et — log ( I +-r7- ), la foi-mule (8) ne peut eesser d'être vérifiée

et les for mules suivantes restent exactes. La convergence des approximations est donc établie, et il résulte immédiatement de la formule ('-) que la fonction Lr=z:.p(A) ainsi définie comme limite des fonctions z>p(X) est. une solution de l'équation (2) prenant la valeur Lo pour

On peut évidemment élargir les hypothèses faites dans cette démonstration. Mais, de toute façon, comme pour les équations difTérentielles ordinaires, il existe des cas singuliers dans lesquels la métliode est en défaut, une solution n'étant pas déterminée par sa valeur initiale.

3. Cas de fonctionnelles dépendant de paramètres arbitraires. — 11 peut arriver que l'on ait à considérer des fonctionnelles dépendant, non S3ulement de la fonction a:{t), uiais aussi d'un ou plusieurs paramètres, soit, pour fixer les idées, un paramètre a variant de oà i.

CIIAP. I. — ÉQUATIONS AUX DKRIVÉES FONCTIONNELLES. l5 5

Si une telle fonctionnelle l „ \érilie une équation aux dérivées fonc- I tonnelles de la forme (:>»), la forme de la fonction/ dépendra évidemment de a. Mais cette dépendance peut être plus ou moins simple.

11 peut arriver que la fonctionnelle /soit de la forme

/|f:r(^)|Ua, T, a]I,

('tant ainsi une fonctionnelle de x{t) et une fonction au sens ordinaire du mot de l „, t et a. La variation de la? pour une certaine valeur de a, pourra ainsi s'exprimer sans faire intervenir les valeurs de Lj^ pour d'autres valeurs que a. L'équation aux dérivées fonctionnelles peut être ainsi étudiée pour chaque valeur de a indépendamment des autres, et cette étude présentera les mêmes caractères que si le paramètre a n'existait pas. Nous dirons dans ce cas que y. figure comme paramètre dans l'équation étudiée.

Il peut aussi arriver cjue, pour chaque valeur ao de a, la fonction/

soit de la forme

/l[.r(0, Uah, ao]|,

dépendant des valeurs de V y pour toutes les valeurs de a comprises (mtre o et i et non seulement de L^^. Nous dirons alors que a figure essentiellement dans l'équation étudiée.

Il est évident que, dans ce cas, l'équation (2 ) n'est plus réductible à une équation diflerentielle. Si nous considérons une famille de Jonctions x[t) dépendant d'un paramètre À, Ua devient une fonction de deux variables ). et a. soit ofa, X); la fonction / devient une fonction de A, T, 7.0, dépendant en outre, pour chaque valeur de )., de la forme de o(y.-, X) considéré comme fonction de a. L'équation (2) prend alors la forme