CA

la fonctionnelle 4> dépendant des valeurs de ç(a, a) pour toutes les Naleurs de a entre o et i, mais seulement pour la valeur particulière <le À ligurant au premier membre.

En général, cette équation n'est pas une équation différentielle.

M> peut être une ionction de — — , v>, ao ; c est alors une equa-

tion aux dérivées partielles, [.n cas plus général est celui où ^\> est

l56 DKUXIKME PARTIE. - DÉRIVÉES FONCTIONNELLES UU PREMIER ORDRE.

(le la forme

/ V A, ao. ç(a. A , -y \ .-., ^7— -—

L'équation (9) est alors d'un des types étudiés j)ai' M. Volterra sous le nom d'équations intégro-difféi'ejitielLes.

Le principe de la méthode d'approximations successives de M. Picard s'applique encore et la formule de délinition des approximations, qui doit remplacer la formule ( - ), est aisée à écrire. Mais la démonstration de la convergence des approximations peut présenter, dans certains cas, des diflicultés plus sérieuses, comme c'est d'ailleurs bien évident, puisque le tjpe actuellement considéré comprend des équations aux dérivées partielles comme cas particuliers.

Nous pouvons considérer quand môme qu'une solution de l'équation (9) est déterminée si l'on connaît sa valeur pour A ::= o. Les cas où il n'en est pas ainsi ne peuvent être considérés que comme des cas d'exception, analogues à ceux qui se présentent pour les points singuliers des équations dilTérentiellcs ordinaires.

4. La condition d'intégrabilité. — Si 1 on se donne la valeur l „•, pour une fonction .i\){t)^ dune solution de ré(|uation (a ), et ([u'on veuille déterminer sa valeur L , pour une fonction x^it)^ on peut y arriver, d'après ce qui précède, en considérant une famille de fonctions x(^), dépendant d'un paramètre X, et \ariant d'une manière continue de Xi^{t) à x^ (t)\ en employant le langage géométri([ue, les fonctions Xq{ t) et .r, {t ) seront représentées ])ar deux points A,, et A, de l'espace fonctionnel, et les fonctions dé|)endant de A par une ligne L allant de Ao à A,.

Mais", comme nous l'avons fait à j)ropos de l'équation (i), nous devons nous demander si la valeur obtenue U) ne dépend pas du choix delà ligne L, c'est-à-dire de la manière d(uit varie la fonction .^(/) entre x^it) et ^, il).

Considérons donc deux lignes L et L allant de A,, en A,. Les points de ces lignes peuvent toujours être considérés comme déduits d'un ensemble E de ])oints dépendant d'une manière continue de deux paramètres \ et p.. Pour ces points, c'est-à-dire pour les fono tions xit) représentées par ces points, l se réduit à une fonction (h', deux \ariables X et p., et l'équation ( 'à i à une équation aux dinercn-

CHAI». 1. — KQLATIONS AUX DKIUVKKS F0^(:T.0^XEL1.ES. lÎJJ

llelles totales. Le problème de ealcul fonelionnel ([iie nous considérons se ramène donc, non comme celui traité n*'" 2 et 3 à un problème à une Yarial)le. mais à un problème à deux variables. On sait qu'on obtient la condition ])our que la valeur l , obtenne en A, soil la même pour toutes les li<;nes L lormées de points de rensem])lcï E, en écrivant que

(lo) oo,U = Ôior.

en posant, comme nous lavons fait n*^' 66 de la première Partie,

OK (hx

Pour que ré(|uati(Hi (:>.) admette une solution l [)renant en chaque j)oint A de Fespace fonctionnel une valeur indépendante de la ligne allant de Af) en A, il est évidemment nécessaire et suffisant (' ) ([ue l'équation (lo) soit \(''rifiée, pour cette fonctionnelle U, et pour toutes les déterminations possibles de x( t ), oxit), o^xit). La condition que cette écpiation soit vérifiée, pour une certaine fonction x[t) et une certaine \aleur de L, (|uelles que soient les fonctions ùx{t) et rj^x{t). conduit à une ou plusieurs relations entre L et x{t)^ qui jouent dans la tliéorie actuelle le même rôle que les conditions d'intégrabilité dans la théorie de l'équation (i), et que nous appellerons conditions cC intéi^rahilitè de l'équation (2).

Sans employer ce mot, nous avons déjà étudié (n"' 66 à 68 de la première Partie) la forme que devait avoir 81 '^ pour que Féquation (10 ) soit vérifiée ([uelles que soient les fonctions rix{t) et rj^x{t). Pour appliquer les résultats obtenus, il faut ici déduire oL^^. de la formule (3) en tenant compte, bien entendu, non seulement de ce que x{t) varie, mais de ce que U varie, sa variation étant donnée par l'équation ( m ). On trouve ainsi, pour 51 '^., une certaine fonctionnelle linéaire Yaox), et la condition cherchée est que cette fonctionnelle soit identique à son adjointe.

Rappelons que, dans le cas important où E( ûjî? ) est de la forme

Ao 03" — Al o^'-h. . .H- A/, o.r'/'^-f- / oi t. t^joxy dt^^ il faut écrire séparément :

(') Voir la N(.l<' à l;< tiii du Cl.opihr.

l58 DliUXIKMi: PAllTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNKLI.ES DU PREMIER ORDRE.

i" Que o(ty ti ) est une foiiclion sjniélrique de t et <le /, ; 2'* Que l'expression

Ao ôjp -f- Aj S;r'-4- . . . + A/, oiT^/'^

est identique à son adjointe. ?^ous appellerons respecti\ement ces conditions la ])i'cmii're et la seanide condition d'i ntéi^i'abilitè de l'équation (2 ).

o. Ces conditions devant être vériliées quelle que soit la fonction :r(^) devront être considé'rées comme incompatildes si elles n€ sont pas compatibles quelle que soit cette fonction; dans ce cas 11 n'existera évidemment aucune solution de Téquation (2).

Si (dles sont compatibles, deux circonstances sont possibles :

i"* Il peut arriver qu'elles soient vérifiées quelle que soit la valeur de Lj. Dans ce cas, l'équation ('2) est dite coniplèiernenl intégrable. Elle admet des solutions dépendant d'un paramètre arbitraire. On peut, en effet, choisir arbitrairement la valeur Ll^ de l pour la fonction XqH). I^'équation (2) définit la variation de U quand.r(^) varie, et comme la condition d'intégrabilité ne saurait cesser d'être vérifiée, la valeur trouvée pour une fonction jp, ( /) est indépendante des déterminations intermédiaires de xit).

2" Il peut arriver que les conditions d'intégrabilité ne soient vérifiées, pour chaque fonction .r( ^ ), que pour certaines valeurs de I . Toute. solution de l'équation ( 2 ) devant vérifier ces conditions, nous n'avons à cherclier les solutions de i'écpiation (2) que parmi les valeurs ainsi définies. Il est, en général, facile de voir si une ou plusieurs de. ces valeurs sont solutions de ( 2 ), et par suite, si cette équation admet des solutions.

6. Gas de fonctionnelles dépendant de paramètres arbitraires. — Le principe des raisonnements précédents s'applique sans modification. Mais la valeur initiale l „ <h' IJ pour la fonction x^^[t) n'est plus une constante donnée, niais une fonction donnée des paramètres considérés a^, a^, . . . , 7.;^ ( ^ ).

Dans le cas où les conditions d'intéerabilité sont vérifiées idenli-

(^) f.c cas où, au lieu de ces paranièlics en n(tMil>rt' liiiî, on a \\\w autre fonclioi arl)itrair(' srra éludii- à paît avi Cliapilrc IV, eu raison df son iiiiporlaiicc parlicnlièrc.

CHAP. I. — EQUATIONS AUX DKRIVKKS FONCTIONNELLES. 1^9

quemenl, c'esl-à-dire quelle que soit la fonction \r(^), quelles que soient les valeurs de ces paramètres (qui interviennent dans l'expression (Je ol ^. ), et quelle que soit, pour la fonction considérée x{t)^ la forme de l considéré comme fonction des paramètres a, l'équation étudiée sera dite coinplètemeiiL intégrable et admettra des solutions dépendant évidemment d'une fonction arbitraire de n variables. .

Dans le cas où, sans être identiquement vériOées, les conditions d'intégrabilité sont compatibles | il faut comprendre ici : compatibles pour toutes les déterminations de x{^t) et pour toutes les valeurs des paramètres a], elles définiront certaines valeurs de L qui, pour chaque fonction x{t)^ pourront encore dépendre de paramètres ou de fonctions d'arbitraires (mais bien entendu pas d'une fonction arbitraire de ii variables). 11 n'est plus alors aussi simple que dans le cas où il n'j a pas de paramètres de reconnaître si certaines de ces valeurs sont des solutions de l'équation (2). Il faut, en général, procéder de la manière suivante :

Soit à chercher, pour une détermination ^o(0 ^^ ^(j)-! les fonctions de a,, a^, . . . , a^, que l'on peut prendre comme valeur initiale de L. Elles doivent d'abord vérifier les conditions d'intégrabilité. Il faut ensuite que, x{t) variant infiniment peu, et la variation de U étant définie par Féquation étudiée, les conditions d'intégrabilité restent vérifiées quelle que soit la fonction oxit); ceci donne un deuxième groupe de conditions que doit vérifier la valeur initiale de U. En écrivant que ces nouvelles conditions restent vérifiées quand x{t) varie, on obtient un troisième groupe de conditions, et ainsi de suite. Nous axons ainsi des conditions d'ilcs conditions clHntéi^rabililé de ran^s :>., 3, ....

Il peut arriver qu'à un certain moment les équations obtenues soient incompatibles. L'(''quation étudiée n'admettra alors aucune solution, du moins aucune solution régulière (') |)Our la fonction ^(^) considérée. Si la même circonstance se présente pour toutes les déterminations .r,)(/), cette équation n'a pas de solution.

Si cette circonstance ne se présente pas, les conditions obtenues

('j N(»iis appelons rct:,ulu'r(' une loïKiioiiiicllc i('j)rrsf'ntal»I(' dans \v \(n'sinaj:c de \,\ fond ion considi'-rrr X(^{1) par la stM'ic de Taylor

l = U,-h oU -+-- o-U ;- ... 4- -^^l -i- . ...

l()0 DKUXIKME PARTIE. — DKRIVEKS FONCTIONNEI-LES DU PREMIER ORDRE.

resteront indéliniiiieiit compatibles. 11 peut ari-iver qu'après un nombre fini d'opérations, les nouvelles conditions obtenues ne soient pas distinctes des précédentes ('); il peut arriver qu'on ti-ouve suc;cessivement nne infinité de conditions distincles. Dans les deu\ cas. on aura formé toutes les conditions devanl être \ériliées par la valeur initiale de l , pour qu'il existe une solution de l'équation étudiée corresptnidant à cette valeur. La démonstration rigoureuse de l'existence de cette solution est d'ailleurs liée à la démonstration rigoureuse de l'existence de la solution de l'équation (g), à laquelle se réduit l'équation étudiée lorsque l'on considère des fonctions .r(^) ne «lépendant que d'un paramètre.

7. Exemples d'équations complètement intégrables. — Les considérations précédentes s'appliquent, bien entendu, au cas des fonctions <I> d'une ligne C; on forme alors les conditions d'intégrabilité en utilisant les résultats du n*^ 7o de la première Partie, dont nous conservons les notations.

Proposons-nous de cherclier toutes les équations complètement intégrables de la forme

(lo) ô'l'= //(^^, M)onds,

M étant le j)()int de la ligne i] correspondant à la valeur ,ç de la longueur d'arc. La fonction y est une fonction de <P et des deux coordonnées de M, indépendante de la forme du contour C. On a

da> dn

df r ,) fMi M\

/(«!). M<)r,nidsi.

Cette expression doit être identique à son adjointe. Il faut et il suffit pour cela que le coefficient de on^dsx dans l'intégrale soit une fonction symétrique des points M et Mi, ce qui s'écrit