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(') Si-Ja coiulitioii dt; laiig n est une coiisimiiuiicc des |)r('((''(Iciit('s, il cm est sùrcimiit de mèiiiL' d(; loiilcs les suivantes.
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CHAP. I. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. l6[
\j'à valeur coiunuinc des deux membres est alors une fonction de <P seulement, d'où il résulte immédiatement que/ est de la forme
/(aMM)^^(cI>)cp(.M).
L'équation ( lo) s'écrit alors
(II) -^ ^ r c (M ) ô/i ds = oW,
W étant wne fonctioiiiieUe additWe de la région intérieure à G.
Les équations complètement intégrables de la forme (lo) sont donc de la forme (i i); elles admettent comme solutions des fonctions de fonctionnelles additives.
8. Cas des fonctions d'une ligne et de deux points. — Désignons par $1^ une fonction d'un contour C et de deux points A et B, et considérons les équations du type
qui comprennent comme cas particulier une équation importante que nous rencontrerons dans l'étude de la fonction de Green.
Proposons-nous de chercher toutes les équations de ce type qui soient complètement intégrables dans le champ des fonctions symétric^ues ('). Nous entendons par là que, si l'on se donne une fonction symétrique quelconque (-) des points A et B, il existe une solution de ré([uation (12) égale à la fonction donnée pour un contour particulier Gq et qui pour un contour ciuelconciue soit encore symétrique en A et B.
(^) J'ai traité dans ma Tlièse ( Chap. II) un problème plus général, en supposant que la fonction / dépende aussi des points A, B, M. Cette généralisation, en rendant l'aspect des formules un peu plus compliqué, ne change rien d'essentiel aux calculs ni aux résultats, J"ai aussi traité le cas où l'on ne se restreint pas au champ des fonctions symétriques; l'étude de ce cas est un peu plus difficile.
(^) Il est entendu qu'on exclut toute singularité telle que les formules qui suivront cessent d'avoir un sens. Cette remarque est importante, car on exclut ainsi les fonctions de Green, par l'étude desquelles on est conduit à des équations du t3'pe (:>) ou d'un type un peu plus général. La singularité de ces fonctions nous obligera donc à une étude spéciale.
If)i DKIXIKMI': PA!lTIi:. — D::RlVÉtS FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
.\(^iis jK) serons
]Mi étant un point du contonr G; nous appellerons dsi rélémenl d'are décrit j)ar ce point.
Pour que la fonction 4))^, étant symétrique, le reste lorsque le €onlour G se déforme d'une manière quelconque, il est évidemment nécessaire et suffisant que la fonction /(a, p, y) soit symétrique en p et y. Pour traiter le problème posé, nous devons donc clierclier toutes les fonctions f{cf,, 3, y), symétriques en p et y, et telles que la condition d' intégrabilité soit identiquement vérifiée lorsque ^^^^ est symétrique en A e^ B.
La variation de la fonction /est
