Dérivons Féquation (i3) par rapport à JB, y,, g. 11 vient
(f4) ?(^, .3, Y)cp(Y, S, Y, ) = ^(a, Pi, Yi)9(?i, li, ô),
en posant
La fonction cp(a, j'i, y) apparaît ainsi comme un produit de trois facteurs dépendant l'un de a, l'autre de [i et le troisième de y. Comme elle est évidemment symétrique en jB, y, on peut poser
Le premier membre de l'équation (i4) devant être indépendant de y,
on a
c étant une constante. Posant alors
^'(^-) = c^^,(a) = c^2(a), il vient
10. 11 peut arriver que la fonction 'f (a, f>, v) soit identiquement nulle. Commençons [)ar traiter ce cas. La formule (i5) donne alors, en tenant compte de la symétrie de /(a, [3, y) en [j et y,
(17) f(^, [â, Y) = A(a, {i)-^h(y., y). L'équation (i3) dérivée par rapport à g, s'écril alors
(18) ^(a, P)4.(^3,2)4-4.(a, Y)4;(Y,ôj = J;(a,^0J^(?i,ô;-f-'l^(a,T0'KTi,û^ en posant
La formule (18) nous montre que le produit (i/(a, [^) 'KJ^, 5) est
l64 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
indépendant de p. La fonction à(y., P) est donc de la forme
h\ désignant une fonction arbitraire. Les formules (i^) et (19) donnent alors
Or on peut faire sur l'équation (12) un changement de fonction inconnue en posant
ht étant une fonction primitive de h\. La nouvelle équation aux dérivées fonctionnelles est évidemment complètement intégrable en même temps que l'ancienne. En y remplaçant W par <I> et en conservant les mêmes notations, la forme de la fonction /(a, ,3, y) devient
En portant cette valeur de la fonction / dans l'équation (i3), celle-ci se réduit à
c'est-à-dire k c = o. La formule (20) se réduit donc à
L'équation aux dérivées fonctionnelles étudiée est alors de la forme
— — = / onds = oS
(S étant Faire intérieure au contour C, si l'on suppose on compté positivement vers l'extérieur) qui est un cas particulier de la forme (i i). On devait s'attendre à trouver cette équation, les points A et B n'intervenant pas, ou n'intervenant que comme paramétres dans les solutions de l'équation considérée.
IL Revenons au cas où la fonction cp(a, |3, y) n'est pas identiquement nulle. Elle est alors de la forme (i6j, et l'équation (i5)
CHAP. I. — ÉQUATIONS AUX DERIVEES FONCTIONNELLES. lo'^
donne, en tenant compte de la symétrie de /(a, p, y),
la fonction g étant Line fonction primitive de la fonction g' . Si alors nous faisons le changement d'inconnue
analogue à celui défini par la formule (21), la fonction /"(a, [3, y) relative à l'équation aux dérivées fonctionnelles vérifiée par W'^ est de la forme
(23) /•<>, 13, Y) = ^Y-i-A(;a, P)-i-/Ka, Y).
En tenant compte de cette formule, et posant toujours
on a, par dérivation de l'équation (i3) par rapport à 0,
Dérivant à nouveau par rapport à [B et y, et faisant y = [j, on a
Donc ^ (a, [^) se réduit à une fonction 'V^j) de son second argument, et l'équation (aS) devient
J.(a)[3 + ^(p) + Y + ^(ï)-?i-4>(Pi)-Yi-'|(Ti)] = p.d;(.30 + T<I'(ï.)-l^i^(.S)-Ti4'(T)-
Le second membre ne dépendant pas de 6, il en est de même du premier, ce qui exige, soit que '\>{o) soit une constante, soit que son coefficient soit nul, c'est-à-dire que [j-4-'i>(|3) soit une constante. En tout cas, on a
et par suite, en tenant compte des formules (23) et (24), /(a, ^3, Y)=3Y + /,(a)-f-^(32+Y^) + ^j(^ + Y).
l66 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
Portant celle valeur dans l'équation (i3), on voit quele terme pj3j
a pour coefficient — . Il faut donc que c = o. Ln nouveau change-
menl de fonction inconnue, remplaçant a, p, "' par a — c,, ^ — c,, V — • c, fait alors disparaître le terme en C|, et il vient
Portant cette nouvelle valeur dans l'équation (i3), elle se réduit à
(^iïi-pT^ = Ti/i(?i)-^Pi/i(7i)-Y/i(.S)-ri/i(T).
Le second membre ne dépendant pas de a, il doit en être de même du premier, de sorte que la fonction/, (a) est de la forme c y.-\-c" , Substituant cette forme, on voit enfin que c' et c" sont nuls, de sorte que
L'équation aux dérivées fonctionnelles étudiée se trouve ainsi réduite, par le changement de fonction inconnue, à la fojine
(iG) o>B'^y*A(i)«5„^5.
12. Les résultats des n"* 10 et 11 conduisent à énoncer le théorème suivant :
Si une équation aux dérivées fonctionnelles de la forme
est complètement intégrable dans le cliamp des fonctions symétriques des points A et i^, ou bien la fonction f est une fonction de son premier argument seulement^ de sorte que les points A et B ne figurent que comme paramètres dans V équation don née ^ ou bien cette fonction est réductible^ par un changement de la fonctionnelle inconnue^ ci la forme
^c Cette équation, ainsi que M. Iladamard l'a découvert et que nous
CIIAP. I. — K OUATIONS AUX DiiiRIVÉES F J.NCTIONNKLIJCS. 167
l'exposerons plus loin, joue un grand rôle dans la théorie de la fonetion de (jreen. Nous l'appellerons Vêquatioii de M. Iladaniard.
N(3Th: SI H LV CONDITION D'IMÉG HABILITÉ.
En raison du rôle fondamental de la condition d'intégrabilité, il n'est peut-être pas inutile de rappeler comment se présente cette condition dans la théorie des équations aux difïerenlielles totales. Nous exposerons cette question sous une forme un peu différente de la forme habituelle, plus simple, à notre avis, en tout cas se prêtant mieux aux généralisations que nous axons en vue.
a. Considérons l'équation -à deux variables indépendantes
( 1 ) dz =^ X(x , y , z) ilx -^Y { x, y, z) dy.
Si une fond ion c- vérifie cette équation, ses dérivées premières sont X et Y, et l'on en déduit deux expressions de 7-7—- qiii doivent être égales, ce qui donne
dy âz dx âz
Telle est la condition d'intégrabilité, évidemment nécessaire.
Soit maintenant à résoudre le problème de Cauchy relatif à l'équation (i), c'est-à-dire à déterminer une solution de cette équation égale à z^ pour x =j' = o. I^our la calculer en un point ç, Tj, nous pouvons faire varier d'abord x de o à ;, puis y de o à r, et intégrer l'équation (i) le long du contour ainsi défini. En d'autres termes, la
variation de z sera définie sur l'axe des x par la condition-^ =^7
et sur une parallèle quelconque à l'axe des j)^ par la condition —-= \ . La fonction ; ainsi définie vérifie donc une équation de la forme
( 3 ) ch ^ ( X ~ u ) dx 4- Y dy,
H étant une fonction de x ely^ dont nous savons seulement qu'elle s'annule pour r =:=(>.
D'ailleurs, le problème de Caucliy posé ne pouvant admettre d'autre solution que la fonction :; ainsi obtenue, il est nécessaire et
l68 DEUXIÈME PARTIE. — DKRIVÉES FONCTIONNELLIi:S DU PREMIER ORDRE.
suffisant, pour qu'il ait une solution, que celte fonclion vérifie Péquation (i), c'est-à-dire que m = o.
]1 est évidemment nécessaire pour cela que la fonction z ainsi formée vérifie la condition (2). .le dis que, réciproquement, cela est suffisant.
Supposons donc cette condition vérifiée. D'aulre [)arl, z, vérifiant l'équation (3), vérifie la condition d'intégrabilité correspondante
(4 ) -i— ^ + Y — = — + ( X + ïi) — .
dy ôz âjc ^ -Ôz
La comparaison des formules (2) et (4) donne
au OY
ôy âz
d'où
u(a', r^) = uÇj-^ o) e'-o ^' =0. C.Q.F.D.
Si la condition (2) est une identité en ^, r, :?, on a ainsi une solution, quel que soit z^. La solution de l'équation (i) déj)end d'un paramètre.
Si c'est une relation entre x, y, ^, conlenanl efiectivement z^ il peut j avoir des solutions de (i), si la fonction z définie |)ar la condition d'intégrabilité est bien solution de (i); en général, il n"j en a pas.
Si c^est une relation entre x et jk, il ne peut ]^as y avoir de solutions.
b. Supposons maintenant que z soit fonction de .r, y, et d'un paramétré a, variant par exemple de o à i et que ses dérivées X et \ , par rapport à oc et j', soient données par des formules de la forme
X(x, y,oco) = Fj [z-(x,y, a)|^, j-, 7.0] ],
Y{œ, jK, ao) = G 1 [z(x, j, a) ] x, y, 7.0] [,
les fonctionnelles F et G dépendant des valeurs de z pour les valeuis |)articulières de :r et y que l'on considère, mais j^our toutes les valeurs de a entre o et i.
Chacune de ces équations est du type (9) considéré dans le Gliapitre qui précède, avec cette difi'éreace qu'elle contiiuit une variable
CIIAP. I. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVKES FONCTIONNELLES. 1 69
{x OU y) ligiiraiit comme paramètre. L'ensemble de ces équations définit la variation de z quand x et y varient, par exemple de la manièrr; indiquée au paragraphe a; on a ainsi une fonction z bien déterminée, solution des équations
àz ^^ , . dz
;^=r+»(,r,r, oc). -=G,
la fonction a (x, y, a) s'annulant pour x ==^ o.
Les deux valeurs de -; — f- déduites de ce système sont égales. Pour facililer Técriturc, sup])OSons que les variations des fonctionnelles F et G lorsque la fonction z varie s'expriment par les intégrales de M. Vol terra :
/ Fi r),^oz da, I GC,3j 05 <r/a.
11 vient
La condition d'intégrabilité du sjstème (5) s'obtient en faisant Il = o. Elle est nécessaire pour que ii = o et que, par suite, la fonction z formée soit solution de l'équation (5). Elle est aussi suffisante, car elle entraîne, en tenant compte de (6 ),
Cette équation intégro-diiïerentielle définit parfaitement ti^x^y^ ao) si l'on connaît sa valeur initiale pour jr = 0, et si cette valeur initiale est nulle, u est partout nul. c. q. f. d.
Si la variation des fonctionnelles F et G n'est pas de la forme considérée, si notamment elle contient des termes dépendant spécialement de l'allure de la fonction z{x^ y^ a) dans le voisinage du
point a =0, l'équation (-) sera remplacée par une intégro-différen
.• n r ^ 1 '-11 ()(i( cr. y, cco) ,
tielle cl un type un peu plus gênerai, donnant j^ ^^us la
forme d'une fonctionnelle linéaire dépendant des valeurs prises par u{x^ y, a) quand a varie de o à i, fonction en outre de ^, y, ao- Mais la conclusion que cette équation entraîne w = o, si la valeur initiale i/(.r, o, a^) est nulle, subsiste.
f;0 DEUXIÈME PARTIE. — DKRIVÉES FONCTIONNEILES DU PREMIER ORDRE.
c. Soit maintenant une fonction z de trois variables :r,, .^2, x-^, assujettie à vérifier l'équation aux différentielles totales
dz = Xi(xi, Xi, 0^3, z) dxx-^ X2(:ri, Xo, .rg, z )dxi'\- X3(^,, a^a, ^3, s) «^^3.
Cette équation permet de calculer la variation de ^ quand on fait varier^,, x^^ x-i suivant une loi déterminée, et il est évidemment nécessaire, pour que le résultat soit indépendant du chemin suivi^ que
OXj ^ dz <)xi ôz ^ ' -^ î ' ^
Je dis que cette condition est suflisante. En effet, si l'on considèr,^ des systèmes de valeurs Xt^ x-y, x-,] dépendant d'une manière quelconque de deux paramètres A et u, représentant des points ^,, Xo, x^ décrivant une surface S, on vérifie sans peine que
c'est-à-dire que le résultat est indépendant du chemin suivi pour faire varier Xy, x-^-, .^3, à condition que ce chemin soit sur la surface S. Mais deux chemins quelconques allant de l'origine à un même points,, .r^, X;^ peuvent toujours être considérés comme étant sur une même surface S. Le résultat est donc indépendant du chemin suivi.
Jl n'y a pas de difficulté à considérer, au lieu de la fonction u{x\^ X2, X;i), une fonction d'un plus grand nombre de variables, ou bien une fonctionnelle, ce qui conduit au problème traité dans le Chapitre précédent. Nous rencontrerons au Chapitre IV une généialisation un peu différente. Il n'y a jamais de difficulté à étendre le raisonnement du paragraphe a de cette Note, et nous pouvons toujours affirmer que la condition d'intégrabilité, toujours aisée à former et é'videmment nécessaire, est aussi suffisante.
d. Bien entendu, dans le cas où cette condition n'est pas identiquement vérifiée, il faut choisir une détermination initiale de la fonction ou fonctionnelle étudiée qui la vérifie, puis écrire qu'elh^ reste vérifiée pour les nouvelles valeurs de cette fonction ou fonctionnelle déduites de })roche en proche des équations données. On obtient ainsi, en général, de nouvelles conditions de plus en plus restrictives, comme nous l'avons montré au n" 6.
