LE PROBLÈME DE DIRICHLET ET LA FONCTION DE GREEN DANS LE CAS DU PLAN
Il peut être utile, pour faciliter la lecture de la suite à un aussi grand nombre de lecteurs que possible, de rappeler d'abord les |)r()prictés classiques des fonctions harmoniques et de la fonction de Green. Le lecteur au courant de ces questions peut passer les n"^ 13 à 20.
13. L'équation de Laplace. — Une fonction u de deux variables x et y, coordonnées d'un point du plan, est dite Jiannoiiique lorsqu'elle vérifie V équation de Laplace :
( I ) ÙLll = - — -^ = o.
Gette équation ne chanj^e pas par un changement de coordonnées rectangulaires. Si en particulier on prend comme axes de coordonnées la tangente et la normale à une courbe, on a, en conservant les notations du n° 76 de la première Partie,
( . d^u d^ u ^ d^ u d^ u du
^^' ^''-"d,^^~dïï-7û;j'^'^~^d;i'
La formule de Green, appliquée à deux fondions harmoniques a €t i', s'écrit
r l dv du\ ,
les fonctions u et v étant harmoniques et continues ainsi que leurs •dérivées premières à l'intérieur du contour fermé G, et ds étant l'élément d'arc de G décrit par le point M dont dépendent u et \\ Si en particulier c = i , on a
ds
/in
La fonction log -, p étant la distance de deux points A et M, est «ne fonction harmonique de chacun de ces points. Si l'on veut appliquer la formule de Green à u et log-, considérées comme fonctions
ûe M, et si A est intérieur au contour G, il faut isoler ce point par un petit cercle. On trouve ainsi
(5) uk= — / ( u -j- log log - -^ ) ds,
^ ^ -2- J^. \ dn ^ p - ^ p d/i )
la direction positive de la normale étant dirigée vers l'intérieur fie G.
1 i. Les potentiels de simple et de double couche. — On appelle ainsi respectivement les intégrales
(5) log -^5,
du
u(5) étant la densité du potentiel considéré ( ' ).
Si A n'est pas sur le contour G, la règle habituelle de dérivation des intégrales définies s'applique et il en résulte que les potentiels ■sont des fonctions harmoniques du point A.
Les formules qui définissent les potentiels conservent un sens
(') Il rcsullc iiïinicdialemcnt de ces définilions (|ue, pour [J.(s) = i, Wa représenic l'angle sous lequel la ligne C est vue du point A, en comptant positivement les angles pour les parties de G pour lesquelles A est du côté positif clioisi sur la normale. Si C est un contour fermé et A intérieur à C, on a donc Wa= ir^.
